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1、不等式选讲一、绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|+|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-
2、c|,当且仅当(a-b)(b-c) 0时，等号成立。2绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axa|x|ax|xa 或x-a x|xR且x0R注：|x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点的距离；| x-a |x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等
3、式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本方法1比较法（1）作差比较法理论依据：aba-b0;ab a-b0.证明步骤：作差变形判断符号得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（2）作商比较法理论依据： 证明步骤：作商变形判断与1的大小关系得出结论。2综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导
4、果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用
5、，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。5.除此之外还有反证法和数学归纳法【绝对值不等式习题】【例1】不等式的解集为（A）-5.7 （B）-4,6 （C） （D） 【答案】D【解析】由不等式的几何意义知，式子表示数轴的点与点（5）的距离和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确【例2】 已知集合，则集合=_.【答案】【解析】，.【例3】对于实数x，y，若，则的最
6、大值为 .【答案】5【例4】不等式的解集是_.【解析】。由题得 所以不等式的解集为。【例5】若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 【答案】【解析】：因为所以存在实数解，有或【例6】已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3f（x）3；（II）求不等式f（x）x2-8x+15的解集.解：（I） 当 所以 （II）由（I）可知， 当的解集为空集； 当； 当.综上，不等式 【例7】已知函数 （1）解关于的不等式； （2）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围。解：（1）不等式，即。当时，不等式的解集是；当时，不等式的解集为；当时，即，即或者，即或者，解集为。 （5分）
7、（2）函数的图象恒在函数图象的上方，即对任意实数恒成立。即对任意实数恒成立。由于，故只要。所以的取值范围是。【不等式证明习题】【例1】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg lg lg lg alg blg c.证明： 由a，b，c为正数，得lg lg ；lg lg ；lg lg .而a，b，c不全相等，所以lg lg lg lg lg lg lg lg(abc)lg alg blg c.即lg lg lg lg alg blg c.【例2】证明不等式1+证法一 (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立 (2)假设n=k(k1)时，不等式成立，即1+2，当n=k+1时
8、，不等式成立 综合(1)、(2)得 当nN*时，都有1+2 证法二 对任意kN*，都有 证法三 设f(n)= 那么对任意kN* 都有 f(k+1)f(k)因此，对任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，【例3】已知a0，b0，且a+b=1 求证 (a+)(b+) 证法一 (分析综合法）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证4(ab)233(ab)+80，即证ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，从而得证 证法二 (比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab证法三 (综合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab 【例
9、4】已知求证：证明： 【例5】若，求证：，不能同时大于1。证明：由题意知假设有那么同理，得矛盾，假设不成立。故，不能同时大于1。【例6】设函数f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的单调区间；(2)求证：当mn0时，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函数；当a0时，f(x)在(1，1上单调递增，在1，)单调递减.(2)证明：要证(1m)n(1n)m，只需证nln(1m)mln(1n)，只需证.设g(x)(x0)，则g(x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)单调递减，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是减函数，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.1
