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1、浅论圆的方程及有关问题向 平【摘要】在高中的数学教学阶段中，由人民教育出版社中学室偏著的全日制普通高级中学教科书，高二数学第二册（上）（必修）本中第七章，直线和圆的方程第7、6节的圆的方程一节中有许多关于圆，圆与直线及圆与圆等有关方面的问题、现就这几方面，笔者结合自己多年的教学实际，总结了一些教法感悟。圆及有关问题也是人们在生产和生活中经常遇到的问题，需我们去解决，它是属于数学中的解析几何的问题、需要弄清以下几个方面。 【关键词】圆 直线 切线 方程一、圆的方程（一）正确理解圆的定义及标准方程我们知道平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆其中定点叫圆心、定长就是半径。在解析几何中圆的方
2、程有两种形式标准方程：(xa)2+(yb) 2 =R2其中圆心为（a、b）半径为R例：求以c（1、3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。分析：本题告诉了圆心坐标，用点到直线距离公式，先求出半径，然后代A圆的标准方程即可。解：因为c与直线3x4y70 相切所以半径r等于圆心到这条直线的距离。由点到直线的距离公式得因此所求的圆的方程为：(x-1) 2 + (y-3) 2 =(二)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2 +E2 -4F0)，其中圆心为（、）,半径为在这两种形式中，标准方程直接反映了圆心和半径，若已知圆心和半径写成这种形式比较容易，而圆的一般方程在一部分应用中
3、比较简单，但应注意，一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件为：D2 +E2 -4F0例：求过三点0(0、0) M1(1、1) M2(4、2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标。分析：本题没有直接给出圆心和半径，故用一般方程只需求出D、E、F这三个待定系数就可以了。解：设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F，因为0、M1、 M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标代入上面的方程，得到关于D、E、F的三元一次方程组解这个方程组于是得到所求圆的方程 x2 + y2 -8x + 6y = 0所求圆的半径圆心坐标为（4、3）
4、二、直线与圆直线和圆的位置关系，制定直线和圆的位置关系主要有两种方法，方法：1.是把圆的方程和直线的方程联系成方程组，利用判别式来讨论位置关系方法二是把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较这两种制定方法中，方法二比方法一更为方便，因而更为常用。直线与圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程及切线等方面的问题，必须正确理解和运用圆与圆的切线的有关性质，a.切线与过切点的半径互相垂直，因此两直线的斜率均存在时，斜率之积为1；b.圆心到切线的距离等于圆的半径;c.由切线与圆有且只有一个公共点，因此将切线的方程代入圆的方程化简所得的一元二次方程判别式为0。（1）求圆的切线方程：已知切点求圆的切线方程例
5、：已知，圆的方程为x 2 + y2 = r2 ，求经过圆上一点M(x0、y0)的切线方程解：设切成的斜率为K，半径M的斜率为K1则有 故经过点M的切线方程为：整理得：点M（x0、y0）在圆上 的所求圆的切线方程为：点评：圆心在原点、半径为r的圆上一点的切线方程为：，故要求此类切线方程只需将x0、y 0、r 0的值代入公式即可。 已知圆外一点求圆的切线方程例：求经过点(1、7)与圆x 2 + y2 = 25相切的切线方程。分析：点（1，-7）代入圆的方程有1+(7)2 25，因此点(1、7)在已知圆外，过圆外一点与圆相切的切线方程求法有三种：方法一：设切线的斜率为K，由点斜式得：Y+7K(x-1
6、) 即y=K(x-1)-7 将代入圆的方程得x2 +k(x-1)-7 2 = 25整理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0由此方程解出k，再代回可得切线方程，从过程看利用此法求切线方程，过程冗长，计算书写量大而繁杂，容易出现错误，通常情况下不采用。解法二，设所求切线斜率为k所求直线方程为：y+7=k(x-1) 即kx-y-k-7=0 解得 或 切线议程为：4x-3y-25=0 或3x+4y+25=0方法三：设切点为(x0、y0 ) 则此切线方程为：x0x+y0 y=25 将(1、7)代入切线方程得 x0 - 7y0=25由 解得 或 故所求切线方程为：4x-3y-2
7、5=0 或3x+4y+25=0已知切线的斜率，求圆的切线方程。例：已知圆的方程为：x2 + y2 =1，求斜率为1的圆的切线方程方法一：设切线方程为：y=x+b将其代入圆x2 + y2 =1，得x2 + (x+b)2 =1，即2x2 +2bx+b2 -10)由直线与圆相切有4 b2 8b2 +8=0所求切线方程为 方法二：设切线方程为：y=x+b由直线与圆相切得故 所求切线方程为：方法三：设切点为(x0、y0) 又 由、解得： 或 圆的切线方程为：已知直线在y轴上的截距，求圆的切线方程。例，已知圆的方程为：x2 + y2 =1，求在y轴上的截距为的切线方程。方法一：设切线的斜率为k，则圆的切线
8、方程为y=kx+ 将y=kx+代入圆的方程有x2 + (kx+)2 = 1 即(k2 +1)x2 +2kx+1=0,由8k2 -4k2 -4 =0 得k=1)即圆的切线方程为：y=x+方法二：设切线方程为 y=kx+直线与圆相切 k=1即圆的切线方程为y=x+方法三：设切点为M(x0、y0)，则切线方程为：x0x+y0y=1切线在y轴上的切距为 x=0 而 则切线方程为y=x+综上所述，求切线方程一般有三种方法：一是设切点，用切线公式法，二是设切线斜率，用判别式法，三是设切线斜率，用圆心到切线距离等于圆的半径来求，一般地，过圆外一点求圆的两切线和已知切距求切线方程的上述后两种方法，应注意斜率不
9、存在的情况。2.求圆的方程例：求圆的圆心在直线y=-4x上，并且与直线a：x+y10 相切， 求切于点p(3、-2)的圆的方程。解：求圆的方程存在下列两种思路思路1：运用方程观点解决，使用待定系数法，设所求圆的方程为(x-a) 2 +(y-b) 2 = r2 则依题设有 解方程组得 所求圆为：(x-1) 2 +(y+4) 2 = 8思路2：充分揭示几何性质，运用分析的方法解决，由于圆心在直线y=-4x上，又在过切点(3、-2)与切线x+y=1垂直的直线y+2=(x-3)即x-y-5=0 上 解方程组 圆心为(1、4)，于是 所求圆为(x-1) 2 +(y+4) 2 = 8评析：求圆的方程中融入
10、几何性质的分析运用，有时能大大地减少运算量。3.求轨迹例：已知直角坐标平面上点Q(2、0)和圆C: x 2 +y 2 = 1动点M与圆C的切线长与MQ的比等于常数 ，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线。解：解此题的关键是求切线长，其中用平面几何的方法最简单，如左图，设切点为N，动点为M(x、y)，则 又 依题没有 （0）(2 -1)(x2 + y2)-42x+(1+42 ) = 0当1时，轨道为直线当时，轨迹为圆这时圆心为(、0),半径为4、求两切线间夹角例：求由点P(5、-2)向圆x2 + y2 =9所引两条切线间的夹角。解法1，设由P(5、-2)向圆所引切线的方程为：y+2=k(x-5
11、) 即kx-y-(2+5k)=0圆心到直线等于于圆的半径即16k2 + 20k-5= 0方程的两根 设两切线所夹锐角为 ,则解法：如右图，设A、B， 设 则 5.求字母参数取值范围例：已知圆的方程为 x2+ y2+ ax+ 2y+ a2=0，一定点为A(1、2)，要使过定点(1、2)，作圆的切线有两条，求a的取值范围。解：将圆的方程配方有：，圆心C的坐标为()，半径,条件4- 3a2 0，地点A(1、2)所作圆的切线有两条，则点A必在圆外， |AC|r即 化简得 a2 + a + 9 0由 解之得 ）直线与圆相交一条直线与圆相交可以求相交弦长例：已知圆的方程为：x2 + y2 =9,直线y=x
12、+1与圆相交于A、B，求相交弦的长。分析：本题可先求圆心到直线的距离，然后根据垂径定理用勾股定理即可求得。解：圆的方程为x2 + y2 =9 圆心o(o、o)，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，所切弦长为直线与圆相离已知圆的方程 x2 2x+ y2 + 6y = 6，求圆与直线4x-3y+12=0的距离的最大值和最小值。分析：首先判定直线与圆的位置关系可知直线与圆相离，可以确定过圆心与已知直线垂直的直线与圆的两交点到直线距离为最大值和最小值。解：x2 + y2 -2x+6y=6 (x-1) 2 + (y+3) 2=16圆心(1、3)，r = 4而圆心到直线距离 直线与圆相离 三、圆与圆用
13、代数法判定圆与圆的位置关系，即解两个圆的方程所组成的二元二次方程组。若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若无实数解，两圆相离。用几何法判定两圆的位置关系：设两圆半径分别为r1、r2，两圆分别为c1、c2，则当| c1c2| r1+ r2两圆相离当| c1c2| r1+ r2时两圆外切当| c1c2| |r1 r2|时两圆内切当|r1+ r2| |c1c2| | r1+ r2|时两圆相交当| c1c2| |r1 r2|时两圆内含说明：共交点圆系，已知两圆x2 + y2 + D2x+E2y+ F2=0相交，则与两圆共交点圆系的方程为x2 + y2 + D
14、1x+E1y+ F1+ (x2+y2+D2x+ E2y + F2)=0，其中的任意常数，此圆系不包括第二个圆。当时，为根轴方程，即两圆公共弦所在直线的方程为：(D1-D2)x+( E1- E2)y+ F1- F2 =0例：已知圆c: x2 + y2-4x+2y+1=0关于直线： x-2y+10 对称的圆为D。求圆D的方程。在圆C、D上各取点P、Q，求线段PQ长的最小值。解：圆C的方程为(x-2)2 + (y+1) 2 = 4，其圆心C的坐标为(2、-1)半径为2,于是圆D的半径r=2，由于圆心C与圆心D关于 L 对称，设D(x0、y0)，于是LcD，而,kcD=-2 即y0=-2(x0 - 2) -1 cD中点（、）在 上 因此有，由及得x00 y03 即D(0、3)于是圆D的方程为x2 + (y-3) 2 = 4 设圆上任意点P及Q，连接CP、DQ、CD由平面几何知识有|DQ|+|QP|+|PC|CD|DQ|PC|2 |CD|因此，|QP| 4,仅当P、Q为两圆连心线与两
