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1、第 十 八 章 平 行 四 边 形人教版八年级下全章热门考点整合应用本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题.近几近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作探究题以及与其他知识相结合的综合题探究题以及与其他知识相结合的综合题.本章热门考点可本章热门考点可概括为：一个定理、一个性质、四个图形的性质与判定、概括为：一个定理、一个性质、四个图形的性质与判定、四个技巧和两种思想四个技巧和两种思想.一个定理一个定
2、理三角形的中位线定理三角形的中位线定理1.2022常州常州如图，在如图，在ABC中，中，D，E分别是分别是AB，AC的中点，的中点，若若DE2，则，则BC的长是的长是(B)A.3B.4C.5D.6(第第1题题)B 一个性质一个性质直角三角形斜边上中线的性质直角三角形斜边上中线的性质(第第2题题)【点拨】在正方形在正方形ABCD中，中，BCD90，F为为DE的中点，的中点，CFEFDF.CEF的周长为的周长为32，CE7，CFEF25，即，即DE25.在在RtCDE中，根据勾股定理可得中，根据勾股定理可得CD24BC，BE24717，3.如图，在如图，在ABC中，点中，点D，E，F分别是分别是A
3、B，BC，CA的中点，的中点，AH是边是边BC上的高上的高.求证：求证：(1)四边形四边形ADEF是平行四边形；是平行四边形；【证明】【证明】点点D，E分别是分别是AB，BC的中点，的中点，DEAC.同理可得同理可得EFAB，四边形四边形ADEF是平行四边形是平行四边形.(2)DHFDEF.四个图形的性质与判定四个图形的性质与判定性质与判定性质与判定1平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定4.2023扬州扬州如图，点如图，点E，F，G，H分别是平行四边形分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接各边的中点，连接AF，CE相交于点相交于点M，连接，连接AG，CH相交相交于点于点N.(1)求证
4、：四边形求证：四边形AMCN是平行四边形；是平行四边形；(2)若若 AMCN的面积为的面积为4，求，求 ABCD的面积的面积.性质与判定性质与判定2矩形的性质与判定矩形的性质与判定5.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，E，F分别为分别为BC，DA的中点，以的中点，以CD为斜边作为斜边作RtGCD，且，且GDGC，连接，连接GE，GF，若，若BC2GC，则，则EGF45.45性质与判定性质与判定3菱形的性质与判定菱形的性质与判定6.2023山西实验中学月考山西实验中学月考如图，在菱形如图，在菱形ABCD中，中，AC是对是对角线，点角线，点E是线段是线段AC延长线上的一点，在线段延长线上的一
5、点，在线段CA的延长线的延长线上截取上截取AFCE，连接，连接DF，BF，DE，BE.试判断四边形试判断四边形FBED的形状，并说明理由的形状，并说明理由.【解】四边形【解】四边形FBED是菱形，理由如下：是菱形，理由如下：如图，连接如图，连接BD交交AC于点于点O，四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，ACBD，OBOD，OAOC.AFCE，OEOF，又又OBOD，四边形四边形FBED是平行四边形是平行四边形.ACBD.平行四边形平行四边形FBED是菱形是菱形.8.如图，在如图，在ABC中，中，BAC90，AD是中线，是中线，E是是AD的中的中点，过点点，过点A作作AFBC交交BE的延长线于点
6、的延长线于点F，连接，连接CF.(1)求证：求证：ADAF；(2)如果如果ABAC，试判断四边形，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的的形状，并证明你的结论结论.【解】当【解】当ABAC时，四边形时，四边形ADCF是正方形是正方形.证明如下：证明如下：由由(1)可知可知ADAFDC，又又AFBC，四边形四边形ADCF是平行四边形是平行四边形.ABAC，AD是中线，是中线，ADBC.ADC90.四边形四边形ADCF是矩形是矩形.又又ADAF，四边形四边形ADCF是正方形是正方形.四个技巧四个技巧技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法轴对称变换法)9
7、.如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AB10，BC5，点，点E，F分别在分别在AB，CD上，将矩形上，将矩形ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点A，D分别落在分别落在矩形矩形ABCD外部的点外部的点A1，D1处，求阴影处，求阴影部分的周长部分的周长.【解】【解】在矩形在矩形ABCD中，中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又又将矩形将矩形ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点A，D分别分别落在矩形落在矩形ABCD外部的点外部的点A1，D1处，处，根据轴对称的性质可根据轴对称的性质可得得A1EAE，A1D1AD，D1FDF.设线段设线段D1F与线段与线段AB交于点交于点M，则阴影部
8、分的周长为，则阴影部分的周长为(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)1010101030.技巧技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法特殊位置法)10.某研究性学习小组在探究矩形的问题时，将一块三角尺的某研究性学习小组在探究矩形的问题时，将一块三角尺的直角顶点放在矩形直角顶点放在矩形ABCD(ABBC)的对角线的交点的对角线的交点O处，处，然后将三角尺绕点然后将三角尺绕点O旋转旋转(如图如图)，图中，图中M，N分分别为三角尺的直角边与
9、矩形别为三角尺的直角边与矩形ABCD的边的边CD，BC的交点的交点.(1)该学习小组中一名成员发现：在图该学习小组中一名成员发现：在图(三角尺的一直角边三角尺的一直角边与与OD重合重合)中，中，BN2CD2CN2；在图；在图(三角尺的一直角三角尺的一直角边与边与OC重合重合)中，中，BN，CN，CD之间的数量关系为之间的数量关系为CN2CD2BN2.CN2CD2BN2(2)试探究图试探究图中中BN，CN，CM，DM这四条线段之间的数量这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由关系，写出你的结论，并说明理由.【解】【解】(2)BN2DM2CM2CN2.理由：延长理由：延长NO交交AD于点
10、于点P，连接，连接PM，MN.四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，ADCBCD90，ODOB，ADBC.DPOBNO，PDONBO.BONDOP(AAS).ONOP，BNPD.MON90，PMMN.ADCBCD90，PM2PD2DM2，MN2CM2CN2.PD2DM2CM2CN2.BN2DM2CM2CN2.【解】存在【解】存在.DM5.技巧技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法固定位置法)11.新考法新考法变式探究法变式探究法如图，在边长为如图，在边长为10的菱形的菱形ABCD中，中，对角线对角线BD16，对角线，对角线AC，BD相交于点相交于点G，点，
11、点O是直线是直线BD上的动点，上的动点，OEAB于点于点E，OFAD于点于点F.(1)求对角线求对角线AC的长及菱形的长及菱形ABCD的面积；的面积；(2)如图如图，当点，当点O在对角线在对角线BD上运动时，上运动时，OEOF的值是否的值是否发生变化？请说明理由；发生变化？请说明理由；(3)如图如图，当点，当点O在对角线在对角线BD的延长线上运动时，的延长线上运动时，OEOF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究究OE，OF之间的数量关系之间的数量关系.技巧技巧4解中点四边形的技巧解中点四边形的技巧12.(母题：教材母题：教材P6
12、2习题习题T16)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点O在在ABC的内部，的内部，BOC90，OBOC，D，E，F，G分别是分别是AB，OB，OC，AC的中点的中点.(1)求证：四边形求证：四边形DEFG是矩形；是矩形；(1)【证明】如图，连接【证明】如图，连接AO并延长交并延长交BC于点于点H.ABAC，OBOC，AH是是BC的垂直平分线，则的垂直平分线，则AHBC.D，E，F，G分别是分别是AB，OB，OC，AC的中点，的中点，DGEFBC，DEAHGF.四边形四边形DEFG是平行四边形是平行四边形.EFBC，AHBC，AHEF.又又DEAH，EFDE.DEF90.平行四边形平行
13、四边形DEFG是矩形是矩形.(2)若若DE2，EF3，求，求ABC的面积的面积.两种思想两种思想思想思想1转化思想转化思想13.如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，C90，ABDCBD，ABCB，P是是BD上一点，上一点，PEBC，PFCD，垂足分别为，垂足分别为点点E，F.求证：求证：PAEF.【证明】连接【证明】连接PC.PEBC，PFCD，ECF90，PECPFCECF90.四边形四边形PECF是矩形是矩形.PCEF.ABPCBP(SAS).PAPC.PAEF.思想思想2数形结合思想数形结合思想(1)判断四边形判断四边形OCBD的形状，并说明理由的形状，并说明理由.(2)如图如图，点，点E，F分别在线段分别在线段AC，OD上，上，AEDF，且，且EGF90，连接，连接FC，OE，求线段，求线段OE的长的长.【解】【解】(2)如图如图，延长，延长FG交交AB于点于点M，连接，连接FE.易得易得ACBCOD，DFAE，CEFO.由由(1)知四边形知四边形OCBD为菱形，为菱形，ODBC，四边形四边形FOEC为平行四边形为平行四边形.ODBC，CDFDCM，DFGCMG.又又GDGC，DGFCGM(AAS).
