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1、专题复习一一直线与圆锥曲线一.本周教学内容：专题复习一一直线与圆锥曲线(一)知识与方法要点：直线与圆锥曲线的关系问题是平面解析几何中的重要问题，一方面它能很好地把有关 直线方程的知识和圆锥曲线方程的知识综合起来；另一方面，其中蕴藏了丰富的思想方法， 是历年高考试题中的常考常新的内容，从而也就成为高三总复习的着力点常见的问题有：1. 直线与圆锥曲线位置关系的研究。包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。2. 直线与圆锥曲线相交成弦的问题。包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆 锥曲线的方程，对称性问题等等。基本的思想方法：1. 直线与圆锥曲
2、线的位置关系是由它们的方程组成的方程组的解的情形来确定的，因此 要学会利用对方程组的解的情况的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系反之亦然，这种 思考方法就是解析几何的坐标法。2. 分析直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意对称性的应用和数形结合思想的应用， 以及方程、函数的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想的运用。3. 直线1： y=kx+b与圆锥曲线C： F (x，y) 二0相交所得弦长的计算方法(公式)：设1与曲线C相交于两点A (xyi)，B (x2，y2)，则y = kx + b， y = kx + b，从而弦长 I AB 1= %：(x x )2 + (y y )21122*1212=
3、v(x x )2 + (kx kx )2 = 1.(1 + k2)(x x )2V 1212112=Y；(1 + k2)(x + x )2 4xx 如此以来，便与一元二次方程f(x)=0的根与系数的关系公式建立了联系，自然地，就 需联立直线1与曲线C的方程，消元，化出关于x的一元二次方程。(注意，该方程的两个 实根恰为A，B两点的横坐标xi，x2) 【典型例题】12例1.顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线1： y=2x+1截得的弦长为V15.求抛物线方程。分析：依题意可知抛物线的开口或向左或向右，而标准方程中均有p0,为了统一起见，不妨设出抛物线方程的统一形式：y2=2mx(mGR，且m/
4、0)，再根据弦长为25，列出关于m的方程，求m即可解：设所求抛物线方程为y2=2mx(mER且m/0)，另设1与该抛物线交于A(xy.B (x2, y2),y = 2 x +1n 4x2 + (4 - 2m)x +1 = 0y 2 = 2mx一方面，因l与抛物线相交于两点，故MGZmW,解得m4另一方面，由韦达定理，x + x = _-, x x =- 1221 24由弦长公式，得I AB =岳=(1 + 22)(-2)2 - 4 X 1解得m=2或m=6,显然均满足题意。故所求抛物线的方程为y2=4x或y2=12x。注：本例中体现了方程的思想方法，即为了求抛物线，先设出其方程，然后利用已知
5、条件待定所设的参数m,把问题转化为解关于m的方程。例2.设过原点的直线l与抛物线y2=4(x 1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰 好过抛物线的焦点F，(1) 求直线l的方程；(2) 求|AB|的长。分析(1)欲求l的方程，只需待定其斜率k，为此就需寻求等量关系，以便列出关于k的方程。由已知条件，发现：AFXBF，从而得到等量关系、匕一1，从而k可求(2) 一旦直线l确定，则求弦长|AB|迎刃而解。BF解：(1)设直线 l 的方程为y=kx，A (x1， y1)，B (x2， y2)(y = kxn k 2 x 2 - 4 x + 4 = 0I y 2 = 4(x -1)显然k=0时，l与
6、x轴重合，x + x =，x x =12 k 21 2 k 2不合题意，故kN0,从而有又由已知条件，得 AFBF，AkAFkBF=1，又 F(2, 0)2=一1, 化简得y + (x 2)(x 2) = 0气-2 x 2 21212而yi=kx1, y2=kx2，代入上式，整理，得k 2xx + xx 2(x + x ) + 4 = 01 21 212把代入，得(1 + k2)兰+ 4 = 0,解得k = 二k 2 k 22.5所求直线/的方程为=号x。(2)由(1)知k 2 =上，从而尤 + x = 8，x x = 82121 2. 1弓弦长 I AB l=、.(1 + k 2)( x +
7、 x )2 4 xx = J(1 + )82 4 x 8 = 4扣312122例3.已知椭圆的一个顶点为A (0，1)，焦点在x轴上，其右焦点到直线x + 2 v2 = 0的距离为3(1) 求椭圆方程；(2) 椭圆与直线y=kx+m (k/0)相交于不同两点M、N，当| AM| = |AN |时，求m的取 值范围。分析：根据已知条件，可断定 所求椭圆的方程为义+ 2 = 1(。b 0) a 2b 2且b = 1，故只需根据条件“右焦点到直线 x + 2.巨=0的距离为3”，来待定出a即可。(2)由椭圆与直线相交于不同两点，可得知由它们的方程联立消元所得的一元二次 方程有两个不等实根，从而有 =
8、f(m，k)0；另一方面，又由| AM| = |AN|，可得点A在线 段MN的垂直平分线上，设MN中点为P，则有MNXAP，从而、匕一1，即g(m，k)=0, 只需联立f(m，k)0及g(m，k)=0消去k，解关于m的不等式即可，求得m的取值范围。解：根据题意，可设椭圆方程为+芸=1(a b 0)而b=1，右焦点设为F (c，0)，由已知，得宣+亨1 = 3(c 0) v2解得c - 2,从而a - x： 3所求椭圆方程为忙+ y 2 =1。3(2)设P为线段MN中点，由| AM| = |AN|得MNLAP,从而 kMN kAp=1 设M (x, y ), N(x , y )，贝次-气 +、,
9、 y -约 + y1122 P 2 P 2y - kx + mx2n (3k 2 +1)x2 + 6mkx + 3(m2 -1) - 0-3 + y 2 =1一方面，- (6mk)2 - 4(3k2 +1) x 3(m2 -1) 0,化简得m2 3k2 +1-6mk一 3mk ,m另一方面，x + x ，从而x , y - kx + m 12 3k 2 +1p3k 2 +1p p 3k 2 +1乂&0, -1)及，得kypTT)=-1,把x , y代入，整理，得xP Pp2m - 3k 2 +1由，消去k2，得m22m,解得0m 0,解得m 1 可见1 v m v 2322例4.直线m： y=
10、kx+1和双曲线x2 y2=1的左支交于A、B两点，直线l过点P (2, 0)和线段AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围。分析：本题的目标是求参数b的取值范围，与例3中第(2)问，在方法上相同，一 方面，由直线m与双曲线左支交于两点，可得关于k、b的不等式，A=f(k, b)0,但应 注意A、B两点的横坐标, xb均小于0；另一方面，由直线l过P及AB中点，又可得到 关于k, b的等量关系g(k, b)=0,联立f(k, b)0及g(k, b)=0,可求b的取值范围。y - kx +1解：厂n (1 -k2)x2 - 2kx- 2 - 0x 2 - y 2 - 1设A (x , y
11、), B (x , y ), AB中点为M (x , y ),则由题意，得1122002k八x + x =v 0121 - k 2一2 n17 勺 0 n 1 v k v*21 2 1 - k 2A = 4k2 + 8(1 -k2) 0又x = 1,021 - k 2y = kx +1 = 100k1，即M (- ,-) 1 - k 21 - k 2 1 - k 2- 0直线/的斜率为kPM直线/的方程为y =1 - k 2k、- 2k 2 + k + 2(-2)1 - k 21(x + 2)-2k 2 + k + 22令x = 0,得直线/在)轴上的截距为b =, k e (1,2)2k2
12、+ k + 2注：求b的取值范围，即求以k为自变量的函数b=f(k)的值域。函数幺(k) = -2k 2 + k + 2 = -2( x - )2 + 叫 在(1,2)上为减函数48.g (克)v g (k) g，且g (k)丰0即 2 g(k) 1即 b 2例5从双曲线寻-希=】的右焦点直线，使其与一条渐近线(垂直相 交于A,与另一渐近线12交于点B,求证：线段AB被双曲线的左准线平分。分析：本题的一般思路为：设出l的点斜式方程一分别与11, 12的方程联立，表出 A, B坐标一求出AB中点M的坐标，一验证点M在双曲线的左准线上。事实上，由于X =，只需求出尤+ X的值即可，而不必分别求出尤
13、，X，为此需把M 2a BA B两条渐近线方程合并成统一形式：兰-= 0,与/的方程联立，可得关于X的816兀二次方程，利用韦达定理，可得XA+xB，进而可求得XM。解法一（求A，B交点坐标）由已知得F（2j6，0），设：y = J2x，/y = -J2xV112/的方程为y 0 = -=（x 26），即y = -（x 2（6）由!y二厂解得A（军，埠 y =亍（x 2时6）332y = - J2 x由2一 解得8（-2而，40y = （X 2寸6）2AB的中点M的坐标为（-236，、）而双曲线的左准线方程为X =之经验证，M在左准线上，故线段AB被双曲线的左准线平分。解法2：由已知F( 6, 0)i I，而的斜率为V2直线l的方程为y = -2(x - 246)与双曲线的渐近线方程 -畚=0联立，消，得3 x 2 + 4v：6 x 一 24 = 0设A(x，y )，B(x，y )，则由韦达定理，得x + x = 一全爻1122123从而人8中点M的横坐标为xMx + x2k 6=1 2 2 =一 T乂 ,/左准线方程为x =a 22、. 6C.AB的中点M在左准线上，即线段AB被双曲线的左准线平分。例6已知椭圆c +号=】上存在关于直线/： y = 2x + 对称的两点，试求m的取值范围。分析“两点A、B关于直线l对称”，意味着直线AB与椭圆有两个不同交点；直 线ABl；线
