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1、第十四讲：解直角三角形知识梳理知识点1. 直角三角形中边与角的关系重点：熟练掌握直角三角形中边与角的关系难点：运用直角三角形中边与角的关系中，C=90（1）边的关系：（2）角的关系：（3）边与角的关系： sinAcosB， cosAsinB，tanA， tanB。BCA例1如图，在中，则下列结论正确的是（ ）ABC D解题思路：运用直角三角形的边角关系，选D例2在A ABC中，已知C=90，sinB=，则cosA的值是 ( ) A B C D解题思路：运用直角三角形的边角关系，例1选D，例2选C练习1在RtABC中，C=90，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )A、 B、
2、C、 D、2.在RtABC中,C=900,则下列等式中不正确的是( )（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c= .答案：1. B 2.D知识点2.特殊角的三角函数值重点：熟记特殊角的三角函数值难点：熟练计算三角函数值特殊角30，45，60的三角函数值列表如下：sincostancot3045160例：计算：1.解题思路： ，原式练习1. 计算；2.计算：答案1.4 2.3知识点3. 直角三角形的解法重点：利用直角三角形的边角关系解直角三角形难点：理解题意，灵活运用直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边
3、角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）和一个未知元素共处于这个关系式中，其四种类型的解法如下表：一边一角来XK已知条件解法.Com已知斜边和一个锐角A 已知一条直角边和一个锐角A 两边已知斜边和一条直角边 利用求A 已知两条直角边 利用，求A 例1如图，已知AC=1，求BD。解题思路：将未知线段设为，通过列方程来解直角三角形是常用的有效方法。设BD=x，根据图形有AC=CD=1BD+CD=AC 例2如图，已知中，B=45，C=30，BC=3+，求AB的长。解题思路：解直角三角形中，需将已知角置于直角三角形中，故“构造直角三角形”是常见的作辅助线的方法，简单说就是“作高”。解：作AD
4、BC于D AD=BD 设BD=AD= 在中， 即 练习1.在中，C=90，AB=30，试求的值。2. 如图，在中，D为AC上一点，DC=8，求AB的长。答案1. 解： A+B=90，AB=30 A=60，B=30又 2. 解： 在DBC中，C=90，BDC=45 BC=DC=8在RtABC中， 知识点4. 解直角三角形与实际问题重点：掌握仰角和俯角、坡度和坡角、方向角难点：灵活运用解直角三角形1.仰角和俯角：这两种角均为水平线与观测线所夹的角，当观测线在水平线上方时，夹角为“仰角”，当观测线在水平线下方时，夹角为“俯角”。2.坡度和坡角：如图所示坡度坡角为坡面与水平面的夹角 3. 方向角：从南
5、北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线OA为北偏东60，射线OB为南偏西30，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。 例1 如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为30，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）解题思路：运用仰角的概念和解直角三角形的知识解： BFC=30，BEC=60，BCF=90 EBF=EBC=30 BEEF=20 在中，答：宣传条幅BC的长是17.3米。例2一艘轮船自西向东航行，在A处测
6、得东偏北21.3方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：）解题思路：运用方向角的概念和解直角三角形的知识解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到与，设海里。在中， 在中，海里， ，即解得，答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近。例3 如图，水池的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC的坡角B为30，背水坡AD的坡度，坝底宽DC=2.5m，坝高CF=4.5m。求：（1）坝底AB的长；（2）迎水坡BC的长；（3）迎水坡BC的坡度。解题思路：运用坡度和坡角的概念和解直角三角形的知识解：
7、作DEAB于E（1） CFAB于F 坡度 （2）由（1） CF=4.5，B=30 （3） 迎水坡BC的坡度为练习：1如图，在ABC中，A=900，D是AB上一点，ACD=370，BCD=26030/，AC=60，求AD，CD及AB的长。（以下数据供选用，）2某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西300，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里。求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）答案：145、75、120； 230+10。最新考题中考要求及命题趋势 1、理解锐角三角形函数角的三角函数的值；2、会由已知锐角求它的三角函数，由已知三
8、角函数值求它对应、的锐角 ；3、会运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。2010年将继续考查锐角三角形函数的概念，其中特殊三角函数值为考查的重点。解直角三角形为命题的热点，特别是与实际问题结合的应用题应试对策 1要掌握锐角三角函数的概念，会根据已知条件求一个角的三角函数，会熟练地运用特殊角的三角函数值，会使用科学计算器进行三角函数的求值；2掌握根据已知条件解直角三角形的方法，运用解直角三角形的知识解决实际问题。具体做到：1）了解某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；2）将实际问题转化为数学问题，建立数学模型；3）涉及解斜三角形的问题时，会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为
9、解直角三角形的计算问题而达到解决实际问题考查目标一、直角三角形的边角关系图例1（2009泸州）如图，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，则CA1= ， 解题思路：由题意,则CA1= ，例2在ABC中，C=90，AB=2，AC=1，则sinB的值是（ ） A B C D2解题思路：直角三角形的边角关系，选A考查目标二、特殊角的三角函数的有关计算例1（2009荆门）=_解题思路：熟记特殊角的三角函数值解：
10、例2（2009黄石）计算：31+(21)0tan30tan45解：31+(21)0tan30tan45考查目标三、三角函数的实际应用例1（2009 中山）. 如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：）解题思路：过点P作PQAB于Q，则有APQ=0，BPQ=45 设PQ=x，则PQ=BQ=x，AP=2AQ=2(100-x). 在RtAPQ 中， ta
11、nAPQ=tan30 =,即. 又50，计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。例2（2009 南京）如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m,某人在点A出测得塔底C的仰角为20，塔顶D的仰角为23，求此人距CD的水平距离AB.（参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364，sin230.391，cos230.921，tan230.424）解题思路：在RtABC中，CAB=20， BC=ABtanCAB= ABtan20 在RtABD中，DAB=23 BD=ABtanDAB= ABtan23 CD=BD-BC=ABtan23- ABtan20=AB(tan23- ta
12、n20). AB=500（m）答：此人距CD的水平距离AB约为500m过关测试一. 选择题：1.某天同时同地，小红同学测得1m的测竿在地面上影长为0.8m，小兰同学测得国旗旗杆在地面上的影长为9.6m，则国旗旗杆的长为( ).(A) 10m (B) 12m (C) 13m (D) 15m2把一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来（ ）(A) 1/2倍 （B） 1倍 (C) 2倍 (D) 4倍3. 在ABC中，若，则这个三角形一定是（ ）（A）锐角三角形（B） 直角三角形 （C） 钝角三角形（D）等腰三角形4. 在ABC中，C=90，则sinB的值是（ ）（A） （B） （C） （D） 5. 如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=23，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ） （A） 7米（B）9米（C）12米（D） 15米6 如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 1 7.已知A为锐角，且cosA，那么（
