方差在数学解题中的应用.doc

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1、方差在中学数学解题中的应用 填 表 说 明1、指导教师意见由指导教师填写；2、开题小组意见由开题指导小组负责人填写；3、其余由学生在指导教师指导下填写。4、此表供学院参考使用，各学院可根据各自学科专业的学术规范作适当调整。方差在中学数学解题中的应用摘要 ：方差公式不仅在数理统计中应用广泛，而且在数学解题中也有极其广阔在应用。由于统计初步列入中学数学时间不长，因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少，义务教材中也很少介绍，故给人一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无它用，为延伸教材内容、紧跟素质教育的步伐，经过研究总结了方差公式在求求取值范围、最大（小）值；解（证明）不等式、等

2、式及几何问题；求未知数的值；解方程（组）、应用题；判断三角形的形状等中的应用，其解法新颖、简捷、富有启发性。关键词：方差公式；中学数学；解题；应用 1 引言1.1 方差的价值方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值. 然而由于这部分内容列入中学数学教学的时间不长, 因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少, 故给同学们一种错觉, 好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已, 别无它用. 其实利用方差公式能使复杂的运算变得非常简单, 几乎无从下手的问题, 利用方差公式能使问题得到巧妙的解决, 甚至可以出奇制胜, 达到事半功倍的效果. 为延伸教材内容, 紧跟素质教育和新课程改革的步伐, 下面对方差

3、公式做简要的介绍：1.2 方差的基本概念设在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方和的，用来衡量这组数据的波动大小，叫做这组数据的方差。总体是与个体或样本相对而言的，方差是对一组数据而言的。个体不存在方差的问题（没有波动），总体和样本都存在方差。抽样的目的是用样本的性质去估计总体的情况。样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度

4、的最重要的方法。标准差为方差的平方根，用S表示。标准差相应的计算公式为 标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。公式标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。例如，两组数的集合 0, 5, 9, 14 和 5, 6, 8, 9 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的

5、精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.07

6、分，B组的标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体，标准差公式根号内除以n .如是样本，标准差公式根号内除以（n-1) 因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1) 公式意义 所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如何不紧密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的 最重要也是最基本的指标。 一组数据怎样去评价和量化它

7、的离散度呢?人们使用了很多种方法：极差最直接也是最简单的方法，即最大值最小值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见，比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差（我们叫它离均差 由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于大样本离均差的代数和为零的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种是取绝对 值，也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法平方，这样就都成了非负

8、数。因此，离均差的平方和成了评价离散度 一个指标。由于离均差的平方和与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，增加可比性，将标准差求平均值，这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。样本量越大越能反映真实的情况，而算数均值却完全忽略了这个问题，对此统计学上早有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。在统计学中样本

9、的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。标准差能很客观准确的反映一组数据的离散程度，但是对于不同的检目，或同一项目不同的样本，标准差就缺乏可比性了，因此对于方法学评价来说又引入了变异系数CV。一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之一“自然”的测量。 1.3方差公式1.4标准差=方差的算术平方根1.4.1几何学解释从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 n 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值。它们可以在

10、3维空间中确定一个点 P = ()。想象一条通过原点的直线 。如果这组数据中的3个值都相等，则点 P 就是直线 L 上的一个点，P 到 L 的距离为0, 所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点 P 作垂线 PR 垂直于 L，PR 交 L 于点 R，则 R 的坐标为这3个值的平均数：公式运用一些代数知识，不难发现点 P 与点 R 之间的距离(也就是点 P 到直线 L 的距离)是。在 n 维空间中，这个规律同样适用，把3换成 n 就可以了。1.4.2标准差与标准误的区别标准差与标准误都是心理统计学的内容，两者不但在字面上比较相近，而且两者都是表示距离某一个标准值或中间值的离散程度，即都表示变异

11、程度，但是两者是有着较大的区别的。首先要从统计抽样的方面说起。现实生活或者调查研究中，我们常常无法对某类欲进行调查的目标群体的所有成员都加以施测，而只能够在所有成员（即样本）中抽取一些成员出来进行调查，然后利用统计原理和方法对所得数据进行分析，分析出来的数据结果就是样本的结果，然后用样本结果推断总体的情况。一个总体可以抽取出多个样本，所抽取的样本越多，其样本均值就越接近总体数据的平均值。 标准差（standard deviation, STD）表示的就是样本数据的离散程度。标准差就是样本平均数方差的开平方，标准差通常是相对于样本数据的平均值而定的，通常用MSD来表示，表示样本某个数据观察值相距

12、平均值有多远。从这里可以看到，标准差收到极值的影响。标准差越小，表明数据越聚集；标准差越大，表明数据越离散。标准差的大小因测验而定，如果一个测验是学术测验，标准差大，表示学生分数的离散程度大，更能够测量出学生的学业水平；如果一个侧样测量的是某种心理品质，标准差小，表明所编写的题目是同质的，这时候的标准差小的更好。标准差与正态分布有密切联系：在正态分布中，1个标准差等于正态分布下曲线的68.26%的面积，1.96个标准差等于95%的面积。2方差的应用如果为一组数据的平均数， 为这组数据的方差，则有上述方差公式不仅在数理统计中应用广泛，而且在数学解题中也有着及其广泛的应用。由于统计初步列入中学数学

13、时间不长，因而有关方差公式在解题中的应用资源甚少，义务教材中也未作介绍，故给人一种错觉，好像学了方差公式仅仅是为了统计计算而已，别无他用。为延伸教材内容、紧跟素质教育的步伐，笔者总结了方差公式在求最大值、最小值中的应用，起解法新颖、简洁，极富启发性。2.1 求取值范围、最大（小）值下面以部分竞赛题为例，谈谈如何利用方差公式求最大值和最小值问题。例 1 : 设 都是正整数，且满足，则的最大值( )解：由，知道其平均值为定值，且当正整数中18个字母取最小值1时，第19个字母必须取得最大77（95-18=77），此时方差最大。再由，可知的值也是此时最大，即在大值为。例 2：设m、n、p均为正实数，且

14、则（ ）解： 视m、n为一组数据，则由方差公式，因为，所以，故，所以，因为n、m、p都是正实数，所以。故当且仅当n=m时，由上可看出，能用方差知识求最大值与最小值问题的特征是：（1） 条件可视为一组数据的和或平方和；（2） 这组数据的和或平方和均能用所求字母（式子）的代数式表示；（3） 由，可求出所求字母（式子）的最值。例 3 ： 已知：a，b均为正整数，且a+2b=1，求y的取值范围。解：设为一组数据。因为即所以这组数据的平均数位 ，有方差公式得:又因为，所以，即，则又因为，所以，则即，则“非负数的算术平方根是非负数 ”在解题中应用很广泛, 要注意熟练掌握这一知识点.2.2 解（证明）不等式

15、、等式及几何问题纵观历次及各种数学竞赛，特别是近年来的试题分析，不等式问题愈来愈受到数学界的重视，几乎成为继数论，几何外最重要的测试题型。同时，不等式问题在考验同学们是知识和解题技巧上的要求更高了，也成为考查学生数学知识和数学能力的难点。例 1： 已知，求证.证明： 由方差公式知x、y、z的方差为因为，所以，所以应用方差公式证不等式，其关键在于：根据题设，寻找一组数据，在运用方差公式写出等于某个式子的等式，最后通过化简运算求的=0，在应用非负数性质即可求得其解。本题可将数据推广到n个，结论同样成立。如：已知，且为实数，求证：。分析：由式子及自然联想到平均数公式及方差公式。证明：设是一组数据，则这组数据的平均数为，由此可知，这组数的方差为 因为，所以，即，即。若将已知式子中换成（a为任意数），则仍然有成立。例2 ：已知实数x、y、z满足，求证：x=y。解： 由已知条件得知 ，视x、y为一组数据，其方差所以，又因为，故z=0，于是可得x=3，y=3所以x=y2.3 求未知数的值例1 已知：三角形ABC的是那边a、b、c满足（1）；（2）；（3）b为正整数；（4），求b的值。解：因为 所以由方差公式得，a、b