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1、解答题滚动练41.如图，在四棱锥PABCD中，已知底面ABCD为矩形，且AB，BC1，E，F分别是AB，PC的中点，PADE.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAC平面PDE.证明(1)方法一取线段PD的中点M，连结FM，AM.因为F为PC的中点，所以FMCD，且FMCD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，所以EACD，且EACD.所以FMEA，且FMEA.所以四边形AEFM为平行四边形，所以EFAM.又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.方法二连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN.因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以BCEANE，CBENAE
2、.又AEEB，所以CEBNEA.所以CENE.又F为PC的中点，所以EFNP.又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.方法三取CD的中点Q，连结FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且AEDQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQAD.又AD平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD.因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQPD.又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ平面PAD.又FQ，EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面PAD.因为EF平面EQF，所以EF平面PAD.(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为ABBC，E为A
3、B的中点，所以.又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA.又ADECDEADC90，所以DCACDE90.由DGC的内角和为180，得DGC90.即DEAC.又PADE，PAACA，PA，AC平面PAC，所以DE平面PAC，又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.2如图所示，A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16km处，AB的南面为居民生活区为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P.垃圾发电厂P的选址拟满足以下两个要求(A，B，P可看成三个点)：垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；垃圾发电厂应尽量远离居民区(这
4、里参考的指标是点P到直线AB的距离要尽可能大)现估测得A，B两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？解方法一由条件，得.设PA5x，PB3x，则cosPAB，所以点P到直线AB的距离hPAsinPAB5x，所以当x234，即x时，h取得最大值15km.即选址应满足PA5km，PB3km.方法二以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(8,0)，B(8,0)由条件，得.设P(x，y)(y0)，则35，化简得(x17)2y2152(y0)，即点P的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆位于x轴上
5、方的部分则当x17时，点P到直线AB的距离最大，最大值为15km.所以点P的选址应满足在上述坐标系中坐标为(17,15)即可方法三由条件，得.过点P作PD垂直于AB，设PDh，ADx，则DB|16x|，35，h2(x25)2225.所以当x25时，h取得最大值15.答选址应满足PA5km，PB3km.3已知数列an满足anan12n3，nN*.(1)若数列an为等差数列，求a1；(2)设a1a(a0)，nN*，n2，不等式3成立，求实数a的最小值解(1)设数列an公差为d，则2n3anan1a1(n1)da1nd2dn(2a1d)对nN*成立，所以故d1，a11.(2)由anan12n3，知a
6、n(n2)为等比数列，公比q1，所以an(n2)(a1)(1)n1，故an(n2)(a1)(1)n1.当n为不小于3的奇数时，由3，得3，化简得a2a(n3)22恒成立，所以a2a2，解得a1.n为不小于2的偶数时，同理有a23a(n3)2恒成立，因为a0，显然恒成立所以a0.由得a1，故a的最小值为1.4已知椭圆C的方程为1(ab0)，点A，B分别为其左、右顶点，点F1，F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心、AF1为半径作圆A，以点B为圆心、OB为半径作圆B.若直线l：yx被圆A和圆B截得的弦长之比为6.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知a7，问在x轴上是否存在点P，使得过点P有无数条直线被
7、圆A和圆B截得的弦长之比为34，若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)分别过点A，B作直线l的垂线，垂足为A1，B1，由题意得AA1BB1，由点到直线距离公式得AA1BB1，因为圆A以AF1为半径，所以半径为ac，被直线l截得的弦长为2，因为圆B以OB为半径，所以半径为a，被直线l截得的弦长为2.因为直线l：yx被圆A和圆B截得的弦长之比为6，所以，化简得7a232ac16c20，两边同时除以a2，得16e232e70，解得e或e(舍去)所以所求的离心率为.(2)存在点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为34，设点P(x0,0)，由题意可得直线方程为yk(xx0)，则直线截圆A所得的弦长为2，直线截圆B所得的弦长为2，即有169，其中a7，c，ac，上式整理得，关于k的方程有无穷多解，故有7x350x03430，解得x01或x049，故存在2个点P，使得过点P有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为34，P点坐标为(1,0)或(49,0)
