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1、课时规范练33基本不等式及其应用一、选择题1.“-2”是“a0且b0”的()A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件来源:数理化网答案:A解析:-2+2=0ab0)的最小值为2-4D.函数y=2-3x-(x0)的最大值为2-4答案:D解析:y=x+的定义域为x|x0,当x0时,有最小值2,当x0时,3x+2=4,当且仅当3x=,即x=时取“=”,y=2-有最大值2-4,故C不正确,D正确.3.已知不等式(x+y)9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案:B解析:x,y(0,+),a0,(x+y)=1+a+1+a+2(当且仅
2、当y=x时等号成立),因此,若使不等式(x+y)9对任意正实数x,y恒成立,则需1+a+2=(+1)29,解得a4,即正实数a的最小值为4.故选B.4.a,b都为正实数,且=1,则的最大值为()A.B.C.D.答案:A解析:依题意得,=-=-的最大值是=0,即,因此选A.5.设a0,b0,且不等式0恒成立,则实数k的最小值等于()A.0B.4C.-4D.-2答案:C来源:解析:由a0,b0,0,得k-,而+24(a=b时取等号),所以-4.因此要使k-恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4.故选C.6.若0x,则y=x(3-2x)的最大值是()A.B.C.2D.答案:D解析:0x0.y=
3、x(3-2x)=2x2,当且仅当x=-x,即x=时,取“=”,函数y=x(3-2x)的最大值为.二、填空题7.已知关于x的不等式2x+7在x(a,+)上恒成立,则实数a的最小值为.答案:解析:因为xa,所以2x+=2(x-a)+2a2+2a=2a+4(当且仅当x=a+1时取等号),即2a+47,所以a,即a的最小值为.8.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=.答案:20解析:该公司一年购买货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,又运费为4万元/次,所以一年的总运费为4万元,又一年的总存储费
4、用为4x万元,则一年的总运费与总存储费用之和为4+4x万元,4+4x160,当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.9.若logmn=-1,则3n+m的最小值是.答案:2解析:logmn=-1,m-1=n,mn=1.n0,m0且m1,3n+m2=2.当且仅当3n=m,即n=,m=时等号成立.10.若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是.答案:18解析:由基本不等式得xy2+6,令=t得不等式t2-2t-60,解得t-(舍去)或者t3,故xy的最小值为18.11.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),若ab,则4x+8y的最小值为.答案:4解析:ab,3
5、(y-1)-(-2)x=0,2x+3y=3.来源:4x+8y=22x+23y2=2=4,当且仅当2x=3y,即x=,y=时等号成立.三、解答题12.函数y=loga(x+3)-1(a0,且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n0),求的最小值.解:依题意,点A的坐标为(-2,-1),则-2m-n+1=0,即2m+n=1(m0,n0),所以(2m+n)=4+4+2=8,当且仅当,即n=2m=时取等号,即的最小值是8.来源:13.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,求三角形OAB面积的最小值.解:设直线l为=1(a0,b
6、0),则有关系=1.对=1应用基本不等式,得1=2,即ab8.于是,OAB面积为S=ab4,即OAB的面积最小值为4.14.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边上的高AD=BC,求的取值范围.解:因为+2cos A,SABC=ADBC=a2,又a2=SABC=bcsin A,所以=sin A,故=sin A+2cos A=sin(A+).又2=2,所以2,即的取值范围是2,.来源:15.已知lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.解:由lg(3x)+lg y=lg(x+y+1),得(1)x0,y0,3xy=x+y+12+1.3
7、xy-2-10,即3()2-2-10,(3+1)(-1)0.1.xy1.当且仅当x=y=1时,等号成立.xy的最小值为1.(2)x0,y0,x+y+1=3xy3.3(x+y)2-4(x+y)-40.3(x+y)+2(x+y)-20.x+y2.当且仅当x=y=1时取等号,x+y的最小值为2.四、选做题1.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是()A.B.C.5D.6答案:C解析:x+3y=5xy,=5,x0,y0,(3x+4y)+9+42+13=25,5(3x+4y)25,3x+4y5,当且仅当x=2y时取等号.3x+4y的最小值是5.2.设x0,y0,x+y-x2y2=4,则的最小值为.答案:4解析:x0,y0,x+y-x2y2=4,同除以xy,得=xy+4.3.若实数a,b满足ab-4a-b+1=0(a1),求(a+1)(b+2)的最小值.解:ab-4a-b+1=0,ab=4a+b-1,(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1=6a+2+1=6a+1=6a+8+1=6(a-1)+15.a1,a-10.原式=6(a-1)+152+15=27.当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立.(a+1)(b+2)的最小值为27.
