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1、演绎过程的精彩两道函数开放题的探究学习实录与评析湖南省衡东县第五中学 罗江英 2007年秋季湖南省开始全面推行高中数学新课程改革，笔者作为一名在一所农村中学从事高中数学教学的一线教师，必须转变教学观念，在教学实践中实施更加有效的教学方式才能胜任新课程教学，取得更加理想的教学效果。下面是笔者在平时的课堂教学中颇有感触、受益匪浅的一课与同行交流本节课是人教A版必修模块1第一章集合与函数的概念中函数的概念第二课时，笔者设计了两道已知函数的值域求定义域的开放题，通过这两道题的探究进一步加强学生对函数的定义域、值域的认识和理解，并能清楚意识到它们的紧密联系，全面把握好函数的概念。多媒体演示：（1）已知一
2、个函数的解析式为y=x2它的值域为1、4，求此函数的定义域（2）已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为1、4，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数为了体现学生的主体性地位，充分听取学生的意见和想法，我决定放手让学生先思考题1，组织学生分组讨论，然后交流。 （学生讨论片刻）生1：可以是1，2，1，-2，-1，2，-1，-2师：只有这四个吗？（学生困惑，又开始相互讨论）生2：我发现1，-1，2，1，-1，-2，-1，-2，2，1，-2，2也是可以的生3：（迫不及待）还有1，-1，-2，2师：就这么多吗？确定？（培养学生质疑意识，理清解题思路）生4：我们知道函数的定义域无非是由1，-1，2，
3、-2四个数中某几个数的组合，而且必须同时有绝对值等于1，2的数，我们可以按照：两个元素，三个元素，四个元素进行划分，有规律地写下去，所以一共有9个集合满足题意，分别是（在黑板上板书）：1，2，1，-2，-1，2，-1，-21，-1，2，1，-1，-2，-1，-2，2，1，-2，21，-1，-2，2师：对的，生4抓住了问题的本质，并告诉我们要按照一定的规律和程序去做一件事情，这样才不至于出现混乱和遗漏的状况。现在我们把这道题变化成题2 （教师让学生讨论片刻）生5：与题1类似，我也想到了四个，定义域分别是1、2， -2、1， -2、-1， -1、2生6：我有不同的意见，我认为定义域为-2、1或-1
4、、2时，值域应为0、4，即只有1、2，-2、-1是符合题意的（大多数学生赞同）师：莫非只有y=x2 x1、2， y=x2 x-2、-1这两个函数吗？（学生陷入沉思）生6补充：定义域还可以是1、2-2、-1师：对，当定义域为1、2-2、-1时，y=x2的值域也是1、4，所以定义域为1、2-2、-1也是可以的，那你是怎样想到的呢?生6：我是通过画图象看出来的师：非常好，你想到了一种直观形象的方法图象法，下面请大家借助图象来分析吧，看看是否还有其它的答案？（数形结合，这是茫然之处课堂升华的最佳途径，此时气氛活跃起来，学生开始动手画图）同时，教师打开几何画板，设置两个区间1、2，-2、-1，分别构造区
5、间内的动点A和，设置一个拖动A，两点且图象也随之变化的演示动画，如图1:（让学生在逼真的图像演示下思考问题，增强直观形象性）生7：1、2-2、-1， 1、-2、-1， 1、2-2、-生8：、2-、-1， 1、-2、-， 1、-2、-生9：我发现只要是1、2与 -2、-1的子集的并集或 -2、-1与1、2的子集的并集就可以满足题意同学们投去赞许的目光，这时引起了部分学生的注意，突然有个学生站起来生10：我发现-2、-1的子集与1、2的某个子集的并集也是可以的，比如生8举的例就满足这个特征大多数学生认可的点了点头，还有少数学生没反应过来，教师继续演示几何画板动画，让学生进一步感受数学结论师补充：生
6、10说得对，大家注意，实际上若取-2、-1的子集与1、2的某个子集时，对应的函数值要能取得值域范围内的一切值。比如，若取-2、-1的子集中包含-2时，那么1、2的子集必然包含1。学生的积极性被调动，一石激起千层浪，气氛很活跃，生11：老师，我发现-、-、1、-2、-也是可以的由于区间过多，学生愕然教师继续打开几何画板，设置两个区间1、2与 -2、-1，分别构造每个区间内的动点A，B和E以及C，D和F。设置一个拖动A，B，C，D，E，F各点且图象也随之变化的动画演示：如图2：（让学生继续从直观的图像中感受）生11：我观察到-、-、1、-2、-也是满足题目要求的这是我预料的，因为图象的演示已经说明
7、了这一点，我边听他说边演示，学生也在演示过程中接受了生10的结论之后，又有学生写了五个区间并起来的，六个区间并起来的等等都满足题意，差一点控制不了学生的思维浪潮。此时学生们完全沉浸在成功的喜悦中教师布置任务：请同学们按照平时划分的十个数学学习小组，每个小组写一个关于本节课的学习报告（附表如下）下课附表：学习报告表课题组长 组员研究过程 研究方法研究结论自我评价教师意见评析：（1）在新一轮的高中数学新课程改革中，教师必须坚定不移地推行教学方式和学习方式的转变。教师应由数学知识的传授者转变为数学活动的组织者、指导者、参与者和研究者，让学生主动从事观察、实验、猜测、验证、推理与合作交流等数学活动，从
8、而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，成为数学学习的真正主人。依据高一学生年龄特征（处在初中到高中的过渡阶段）和认知特点（在函数概念的第一课时已有初步认识），笔者设计了探索性和开放性的数学问题已知函数的值域，探究函数的定义域，给学生提供了很好的自主探索的素材，激发了学生的兴趣，调动了思维的积极性。（2）彻底改变了传统教学中“重结论，轻过程”的教学模式，而是让学生积极主动进行猜想、分析、画图、观察等一系列的数学活动演绎过程的精彩，在这个过程中学生清楚地认识到函数的定义域，值域及它们的关系，全面把握函数的概念（3）利用几何画板的动画演示函数的图像，直观、形象生动，消除了学生的疑点，突破了学生的难点，再一次激发了学生的学习热情（4）针对本节课的探究主题，让学生课后完成学习报告表，一方面使学生加强合作交流，取长补短，共同提高，另一方面培养学生在学习过程中不断地总结数学知识、数学思想方法的良好学习习惯（5）在今后的教学中，继续加强探索开放式的数学教学模式，针对学生特点和教材内容设计一些富有创造性、挑战性、灵活性、开放性的教学内容，为学生积极主动学习提供广阔的思维空间
