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1、本科生毕业论文（设计）题 目 极限思想的产生和发展 The Emergency and Development Of Limit 专 业 数学与应用数学 院 部 数学与计算机科学学院 学 号 xx 姓 名 xx 指 导 教 师 xx 答 辩 时 间 二一四年五月 论文工作时间： 2013 年 12月 至 2014 年 5月极限思想的产生和发展 摘 要：本文主要论述极限思想的产生和发展历史在极限思想产生和发展的每个阶段，介绍一些相关的数学家代表以及他们的理论极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生
2、为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点通过了解极限思想的产生和发展，让人们对学习关于极限思想的数学知识更有兴趣；通过了解极限思想的产生和发展，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线认识曲线，从量变认识质变，从近似认识精确在探求极限思想起源与发展的过程中，会发现数学这个美丽的世界，享受探求数学这个美妙的过程 关键词： 极限思想； 产生； 发展The Emergence and Development Of LimitUndergraduate:xxSupervisor: xxAbstract:This paper mainly discuss the g
3、eneration of limit and its developmentI will introduce you some related mathematicians and their theories during its different periodLimit thought is an important thought of modern mathematics, namely a mathematical thought used to solve and analysis problemsThe emergence and development of the limi
4、t idea is of practical need to society, it also promotes the development of math as a new power, which becomes the foundation and starting point of the modern mathematical thoughts and methodsBy learning the emergence and development of the limit idea, people will be more interested in some mathemat
5、ical questions on limit thoughtThey can know things from finite to infinite, from invariant to variant also, they can understand curve from straight line, qualitative change from quantitative change and exactness from approximation with the help of the limit thoughtI hope that everyone will find wha
6、t a beautiful mathematical world it is and enjoy this wonderful process when you explore the origin and development of limit thought in mathematicsKey words:limit thought ; generation; development 目 录绪论11极限思想的产生12极限思想发展的分期2 21极限思想的萌芽阶段2 22极限思想的发展时期3 23极限思想的完善时期33极限思想与微积分431微积分的孕育431牛顿与微积分633莱布尼茨与微积分
7、634微积分的进一步发展7结束语8参考文献9致 谢10 绪论极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得
8、以发展和完善而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义对于培养人的思
9、维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用 如果把数学比作一个浩瀚无边而又奇异神秘的宇宙，那么极限思想就是这个宇宙中最闪亮最神秘最牵动人心的恒星之一结合自己近期来搜集整理的资料，我想对极限思想的产生与发展以及一些极限的简单应用做一个小小的探究我觉得，我们可以把极限思想的发展历程大致分为三个阶段萌芽阶段、发展阶段、进一步应用完善阶段1极限思想的产生 极限思想的产生和其他科学思想一样，是经过历代古人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，因此它也是社会实践的产物极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术1是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊认的穷竭法2也蕴含了极限思
10、想，但希腊人对“无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法归谬法来完成有关的证明 到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的归谬法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术，代数和初等几何的简单方法来解决的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果”两千多年前可以称作是极限思想的萌芽阶段其突出特点为人们已经开始意识到极限的存在，并且会运用极限思想解决一些实际问题，但是还不能够系统而清晰的利用极限思想解释现实问题极限
11、思想的萌芽阶段以希腊的芝诺、中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表我国春秋战国时期的哲学名著庄子3记载着惠施的一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝竿会越来越短，长度越来越趋于零，但又有缘不会等于零这更是从直观上体现了极限思想我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用所谓“割圆术”，就是用半径为R的圆的内接正多边形的面积S就越来越接近于圆的面积R在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能到达近似的程度但可以想象，如果把这个过程无限次的继续下去，就能得到精确的圆面积2极限思想发展的分
12、期21极限思想的萌芽阶段远在2000多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可回避的孕育在其中了在我国，著名的庄子天下篇一书中记有：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”墨家著作墨子经天下中也有“非半弗，则不动，说在端”的论述从中可体现出我国早期对物质的无限可分性与连续性已有了相当深刻的认识，虽然这些认识属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽将无穷思想创造性地运用到数学中的是我国魏晋时期的数学家刘徽刘徽在注释九章算术4中多次用到极限思想处理问题，运用的比较熟练，说明当时他已经对极限思想有了相当深刻的认识对极限的观念和方法已经有了直观基础上的运用正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率到公
13、元五世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之（429500年）的缀术中，同样运用“割圆术”推算出24576边形得到：3141592631415927祖冲之5这一成果领先世界近千年在国外，古希腊的巧辩学派6几何三大问题安提芬在研究画圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭”,而布莱森（约公元前450年）则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边形的面积来逼近圆的面积的思想公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法“穷竭法”，这种方法假定量的无限可分性，并且以及下面命题为基础：“如果
14、从任何量中减去一个不小于它的一半部的部分，从剩余部分中再减去不小于它的一半的另一部分，继续下去，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量”应用穷竭法，欧多克斯(约公元前400前347年）正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”他的穷竭法也已经体现出了极限论思想继欧多克索斯之后，阿基米德使用穷竭法求出了一系列几何图形的面积他用足够“内接”和“外切”扇形逼近螺线所围成的平面图形，这和我国的“割圆术”理论大相径庭，实质上是一种极限思想阿基米德7（Archimedes，公元前287前212年）生于叙拉古（现意大利西西里岛）他才智过人、成果卓著，被誉为古代最伟大的数学家和科学家他的传世名著有圆的测量、论球体和圆柱体、论劈锥曲面体与球体、抛物线弓形求积、论螺线、砂粒计算等他巧妙地把欧克多索斯与人的穷竭法与德谟克利特的原子论观点结合起来通过严密的计
