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1、高考复习指导讲义 第十章 圆锥曲线一、考纲要求1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直 角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的 一些实际应用.3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.二、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个
2、方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)0两条曲线的交点 若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0点P0(x0,y0)是C1，C2的交点 f2(x0,y0) =0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.2.圆圆的定义点集：MOM=r，其中定点O为圆心，定长r为半径.圆的方
3、程(1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程当D2+E2-4F0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-,-);当D2+E2-4F0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则MCr点M在圆C内，MC=r点M在圆C上，MCr点M在圆C内，其中MC=.(3)直线和圆的位置关
4、系直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.曲线性质椭 圆双曲线抛物线轨迹条件点集：(MMF1+MF2=2a,F 1F22a点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.圆 形标准方程+=1(ab0)-=1(a0,b0)y2=2px(p0)顶 点A1(-a,0),A2(a,0);B1(0,-b),B2(0,b)
5、A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)轴对称轴x=0,y=0长轴长：2a短轴长：2b对称轴x=0,y=0实轴长：2a 虚轴长：2b对称轴y=焦 点F1(-c,0),F2(c,0)焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0)焦点在实轴上F(，0)焦点对称轴上焦 距F1F2=2c，c=F1F2=2c,c=准 线x=准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.离心率e=,0e1e=,e1e=1 4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e
6、(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当0e1时，轨迹为椭圆当e=1时，轨迹为抛物线当e1时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移公式 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x Oy中的坐标是(x,y).设新
7、坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 x=x+h x=x-h(1) 或(2) y=y+k y=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方 程焦 点焦 线对称轴椭圆+=1(c+h,k)x=+hx=hy=k+ =1(h,c+k)y=+kx=hy=k双曲线-=1(c+h,k)=+kx=hy=k-=1(h,c+h)y=+kx=hy=k抛物线(y-k)2=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k(y-k)2=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k(x-h)2=2p(y-k)(h, +k)y=
8、-+kx=h(x-h)2=-2p(y-k)(h,- +k)y=+kx=h三、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.例1 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2，求y/x的最大值.解： 此题有多种解法，但用待定参数，转化为求曲线的交点问题可使解题过程更为简捷. 设k，则y=kx.要使k的值最大，只须直线ykx在第一象限与圆相切 ，而圆
9、心(2，0)到直线y=kx的距离为.，解得k(-舍去).(二)充要条件说明 充分条件、必要条件、充要条件是高考考查的重要内容.要掌握好这 几种条件，关键在于要对命题之间的关系很清楚.例2 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件，D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解： 由已知乙甲，丙乙，所以丙甲，即丙 是甲的充分条件，故选A.(三)圆的标准方程和一般方程说明 求圆的方程主要是求出其圆心与半径.还要掌握一般方程与标准方程 的互化，以及圆
10、与其他曲线之间的关系，特别是圆与直线之间的关系.例3 圆A：(x+1)2+(y+1)2=1，圆B：(x-1)2+(y-1)2=4，则有两圆的公切线有( )A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解： 要判断两圆公切线的条数，只需要判断出此两圆的位置关系，而不必求出其切线方程 . A圆圆心是C1(-1,-1)，B圆圆心是C2(1，1)，C1C22，r11，r22.r1+r2C1C2即圆A与圆B相离，则此两圆有4条公切线.故选D. (四)椭圆及其标准方程，焦点、焦距，椭圆的几何性质：范围、对称性、顶 点、长袖、短轴、离心率、准线，椭圆的画法说明 天体的运行轨道基本都是椭圆，所以掌握椭圆的基本概念是很
11、有必要 的.考试说明中明确要求，要会求椭圆的标准方程和椭圆的有关元素.例4 P是椭圆+1上 的点，F1、为其焦点，若F1PF290.求PF1F2的面积.解：SPF1PF2，而PF2 +PF210，PF12+PF22=F1F22=36，联合求解得：PF1PF232，S16.(五)双曲线及其标准方程，焦点、焦距，双曲线的几何性质：范围、对称 性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线，双曲线的画法，等边双曲线说明 根据已知条件会求双曲线的标准方程，以及双曲线的有关元素.这里 与椭圆不同的是实轴、虚轴和渐近线.例5 已知双曲线-1()过点A(4，4).(1)求实轴、虚轴的长；(2)求离心率；(3)求
12、顶点坐标；(4)求点A的焦半径.解： 因为双曲线过点A(4，4)，所以- 1，tg2+tg-0 ，tg-2，(tg=1舍去，因为双曲线方程为-+1.从而a=2,b=4,c=2.(1)实轴长2a=4 ，虚轴长2b8.(2)离心率e.(3)顶点为(0，2)，(0，-2).(4)焦点F1(0，-2)，F2(0，2).AF12(+1)，AF22(-1).(六)抛物线及其标准方程，焦点、准线、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率，抛物线的画法说明 这部分内容要注意与初中讲的抛物线y=ax2+bx+c(c0)的关系，以及抛物线与双曲线一支的区别，y=ax2+bx+c的对称轴平行于y轴(或就是y轴)
13、，双曲线有渐近线，抛物线无渐近线.例6 圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴相切的一个圆的方程是( ) A.x2+y2-x-2y-=0B.x2+y2+x-2y+1=0C.x2+y2-x-2y+1=0D.x2+y2-x-2y+=0解： 经过配方将四个选项中圆的一般方程化为标准方程.(x-)2+(y-1)2=(x+)2+(y-1)2=(x-)2+(y-1)2=(x-)2+(y-1)2=1由已知条件，的圆心不在抛物线y2=2x上.而圆要与x轴相切，则圆心的纵坐标的绝对值 要等于半径.故只有适合.选D.(七)坐标轴的平移，利用坐标的平移化简圆锥曲线方程说明 坐标轴的平移变换是化简曲线方程的一种重要方法.掌握平移坐标轴的 关键在于正确理解新旧坐标系之间的关系.同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标，同一 条曲线在不同的坐标中有不同的方程.例7 方程x2+4y2+6x-8y+1=0的对称中心是( )A.(-3，-1) B.(-3，1)C.(3，-1) D.(3，1)解： 将原方程配方后化为+=1， 对称中心是(-3，1).故选B.例8 求椭圆9x2+4y2-36x+8y+4=0的焦点坐标、长轴与短轴的长、
