排列组合公式整理.doc

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1、11经济2班内部学习资料 ZY排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。排列组合的基本理论和公式排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关如231与213是两个排列，

2、231的和与213的和是一个组合 (一)两个基本原理(是排列和组合的基础) (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同方法 (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法 这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与

3、步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来 (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法 (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列 当mn时，为全排列Pnn=n(n1)(n2)321n！ (三)组合和组合数 (1

4、)组合：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 (2)组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个 这里要注意排列和组合的区别和联系，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，“按照一定的顺序排成一列”与“不管怎样的顺序并成一组”这是有本质区别的 例题分析 1首先明确任务的意义 例1. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从

5、M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入 （一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。 （二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。 （三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。 从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数， 本题答案为：=56。 2注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合 例2从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析：显然本题应分步解决。 （一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法； （二）从剩下的十

6、只手套中任选一只，有10种方法。 （三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法； （四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。 3特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 例3对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。 第一步：第五次测试的有C(4.1)种可能； 第二步：前四次有一件正品有C(6.1)中可能。 第三步：前四次有P(4.4)种可

7、能。 共有种可能。 4捆绑与插空 例4. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 分析： 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即P(5.2)。 4间接计数法.(1)排除法 例4正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? 分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共C(8.4)-12=70-12=58个。 5挡板的使用 例510个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素

8、之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。 6注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。 例6. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数， (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个不同的四位偶数? (3)可组成多少个能被3整除的四位数? (4)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么? 分析：（1）有个。 （2）分为两类：0在末位，则有种：0不在末位，则有种。 共+种。 （3）先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4()+=96种。 （4）首位为1的有=60个。 前两位为20的有=12个。 前两位为21的有=12个。 因而第85项是前两位为23的最小数，即为2301。 7分组问题 例7. 6人分乘两辆不同的车，每车最多乘4人，则不同的乘车方法为_。 分析：（一）考虑先把6人分成2人和4人，3人和3人各两组。 第一类：平均分成3人一组，有种方法。 第二类：分成2人，4人各一组，有种方法。 （二）再考虑分别上两辆不同的车。 综合（一）（二），有 种。