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1、cos叫做a和b的数量积（或内积）,记作a定义法求解Jla-1Tb;（2）当已知向量的坐标时 ，可利用坐标法求解，即若a=（xi,yi）, b=平面向量中的最值、范围问题、考情分析平面向量中的范围、 最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.二、经验分享1 .利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题，
2、即只需将问题转化为向量形式，用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系，用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2 .几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识 ，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解（较易）；将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用求解（较又I）;建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3 .坐标是向量代数化的媒介，通过向量的坐
3、标表示可将向量问题转化为代数问题来解决，而坐标的获得通常要借助于直角坐标系.对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系 ，可以使图形中复杂的几何 关系转化为简单明朗的代数关系 ，减少推理过程，有效地降低思维量，起到事半功倍的效果. 上面两题都是通 过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解，体现了向量解题的工具性.三、知识拓展1. a|ba b a|b .2. a b a b a b四、题型分析（一）平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0 ,数量积的表示一般有三种方法：（1）当已知向量的模和夹角时，可利用（X2,y2）,则a - b= X1X2+ yiy2；
4、（3）运用平面向重基本te理，将数重积的两个向重用基底表示后，再运算.【例1】在边长为2的等边三角形 ABC中，D是AB的中点，E为线段AC上一动点，则EB ED的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则，将向量eB,eD分别表示结合已知条件设| AE |x (0 x 2)将EB ED用变量x表示，进而转化为二次函数的值域问题.【解析】由题意得，二五与近的夹角是60D是4的中点.谩|近|二三=Z|-3/D dE+| K团工=2由于E为线段AC上一动点,故2,2_ 235口16当x = 2时,二.班-EO的取值范围为【点评】将EB ED用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择变量要有可操
5、作性.【小试牛刀】【江苏省盐城中学 2018届高三上学期期末】已知ABC的周长为6,且BC,CA, AB成等比数列，则bA bc的取值范围是【答案】2, 27 9 52【解析】因为 BC,CA, AB成等比数列，所以b 疝6 b,从而0 b22,所以accosB226 b 3b227,又b, a c2.22b , a c4ac b2,即 b23b3、5 30 ,解得2b 2,故279； 52（二）平面向量模的取值范围问题（x,y）,则 a在 Jx2y2 ,向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，过可结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用
6、基底向量表示再求.【例2】已知向量满足4,212的夹角为一，（4)(C b) i,则的最大值为【分析】根据已知条件可建立直角坐标系，用坐标表示有关点（向量），确定变量满足的等式和目标函数的 解析式，结合平面几何知识求最值或范围【解析】设OA a,OB b,OC c；以OA所在直线为x,O为坐标原点建立平面直角坐标系,4,b.2 M的夹角为一4则 A ( 4,0 ) ,B (2,2 ),设 C ( x,y )IIC）（Cb） i,x2+y2-6x-2y+9=0, 即（x-3 ） 2+ （ y-1 ） 2=1表示以（3,1 ）为圆心，以1为半径的圆，a表示点A,C的距离即圆上的点与点A （ 4,0
7、 ）的距离；圆心到B的距离为J(3 4)2 (1 0)2J2,正确找到变量间的关系，以及目【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标标函数代表的几何意义是解题关键.【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA和OB满足oA a,b,且a2b2 10,若向量oCR，且的最大值为22,1 b 4 ,则0, |AB1,OA OB ,如图，取AB中点D ,则22221 b212-a224可得 1 a2b2C在以D为圆心,1为半径的圆上O, C, D共线时最大,的最大值为一,故答案为2(三)平面向量夹角的取值范围问题(Xi, yi), b (X2，y2
8、),且 a,b的夹角为，则 cos【例3】已知向量OA与OB的夹角为OA 2, OB 1,OP t OA, OQ(1t)OB, PQ在to时取得最，一1小值，当o t0 一时，夹角5【分析】将 pq|表示为变量的取值范围为.(2 4cos )t 1,转化为求二次函数的最t 的二次函数 PQ. (5 4cos )t21 2cos1的不等式，解不等式得解.小值问题，当to 1 2cos时,取最小值，由已知条件0 to ,得关于夹角 5 4 cos5【解析】由题意知而=2乂也通=4一流= (L。由一&所以PQ1OA1 -2tC-f)OA-OB =(1+4? - +1 - 0cos 0=6+ 4侬今4
9、ss6AL由二;能徽的图像及其性质知，当上式取最小值时,% =上卫理一由题 5 + 4cos意可得工V于8 v求得L所以乃 夕女.5 十 485 0 5223【点评】求变量的取值范围、 最值，往往要将目标函数用某个变量表示 ，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解.【小试牛刀】已知非零向量满足,若函数f(x)2xa.bx 1在r上存在极值,则a和b夹角的取值范围为【解析】f xx a b,设a和b夹角为，因为f有极值，所以2 4a0,即2 x(四)平面向量系数的取值范围问题,通过列不等式或等式平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系 得系数
10、的不等式，从而求系数的取值范围.【例4】已知a ,2 , b3,5，且a与b的夹角为锐角,则的取值范围是【分析】a与b的夹角为锐角等价于b共线同向的情形.JT6 rao,且a与b不共线同向，所以由a口 0,得10 人，一，再除去a与3【解析】由于 a与b的夹角为锐角a b 0,且a与b不共线同向，由ab 0310 0,解得10，当向量a与b共线时，得53【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别6,得 6,因此 的取值范围是 且 53，向量夹角的范围是0,而三角形内角范围是65(0,),向量夹角是锐角，则cos 0,且cos 1,而三角形内角为锐角，则cos 0,.【小试牛刀】【江苏省泰州中学 2
11、018届高三10月月考】如图，在 ABC中，AB AC 1, (1)求 AB BC 的值；BAC 3(2)设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧 BC上运动，且AP,其中x, y R .求xy的取值范围【解析】（1）aB BC aB aC aB aB aC | AB |（2）建立如图所示的平面直角坐标，则B 1,0 ,C1 _Z32,设 P cos ,sin0,23aP xaB yAC,得 cos ,sinx 1,01,.所以 cos x 2 2-,sin 2y.所以x cos.3 .sin32.3 . sin 3xy空sin3cos2 . 2 sin33in232 . sin3因为,2所以，当
12、26一时，即 2一或266一时3L即6xy的最大值为1；xy的最小值为0.五、迁移运用1 .【江苏省常州2018届高上学期期末】在ABC中,AB 5, AC7, BC 3,P为ABC内一点（含边界），若满足R，则*iP的取值范围为5 25【答案】5,258 4【解析】由余弦定理,得 cosB52 32 721 一1,因为P为 ABC内一点（含边界） 2，且满足R，所以0,4，则25 15【答案】4 2 45 2581T2 .【江苏省南通市 2018届高三上学期第一次调研】 如图，已知矩形 ABCD的边长AB 2 , AD 1.点P ,Q分别在边BC, CD上，且PAQ 45,则XP一（2工十
13、丫）=（布 一）因为0gx名2.0名了名1二0名对名2 f斤以21+量=2 -可二y =1十彳因此y = 2x-1 +x1+jc4-2=2(l+x)+ -41 + xP是边长为2 J3的正三角，则 a V3, i ,b 73, i ,PA 石 cos ,1 sin ,PB 石cos1sinPA PBcos , i sin, 八厂 lj22cos 3 sin 2sin 1 22(1 + x) -j-j 4 = 4应 43 .【江苏省如皋市 2017-2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点 形ABC内切圆上的一点，则 FB的取值范围为【答案】3,1【解析】以正三角形 ABC的中心为原点，以AB边上的高为y轴建立坐标系正三角形ABC内切圆的方程为x2 y2 1,所以可设P cos ,
