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1、勾股定理知识点总结及练习( 同名 4987)本章共课时第课时第十八章勾股定理一基础知识点：1：勾股定理DC直角三角形两直角边 a、b 的平方H222EG）F和等于斜边 c 的平方。（即： a+bcbaAcB要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中， C 90 ，则 ca 2b2 ，bc2a 2ac2b2）baaccbbccaabDCHEGFbaAcB，AaDcbcEa（2）已知直角三角形的一边与另两BbC边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的证明勾
2、股定理的证明方法很多， 常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后， 只要没有重叠， 没有空隙，面积不会改变2本章共课时根据同一种图形的面积不同的表示方法， 列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD，41ab (b a)2c2 ，化简可2证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 41ab c22abc22大正方形面积为 S (a b) 2a 22ab b2所以 a2b 2c2方法三： S梯形1( a b) (a b) ，S梯形 2S ADESABE 21
3、ab1c2 ，化简222得证3：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数， 即 a2 b2 c2 中，a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n2 1,2n, n2 1 （ n 2, n 为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（ n 为正整数） m2n2 ,2 mn, m2n（2 mn, m ，3本章共课时n 为正整数）规律方法指导1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2勾股定
4、理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例.在 ABC中， C 90 C已知 AC 6， BC8求 AB的长ABD已知 AB 17， AC15，求 BC 的长分析：直接应用勾股定理 abc222解： ABAC2BC 210 BCAB2 AC2 8题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 如果梯子的底端离建筑物 9 米，那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？4本章共课时解析：这是一道大家熟知的典型的 “知二求一”的题。
5、把实物模型转化为数学模型后， . 已知斜边长和一条直角边长， 求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！222222根据勾股定理 AC+BC=AB,即 AC+9 =15 ,2所以 AC=144, 所以 AC=12.例题 2如图（ 8），水池中离岸边D点 1.5 米的 C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边， 它的顶端 B 恰好落到 D 点，并求水池的深度 AC.解析：同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图 2. 由题意可知 ACD中, ACD =90, 在 RtACD中，只知道 CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。标准解题步
6、骤如下（仅供参考）：222解：如图 2，根据勾股定理， AC+CD=AD 设水深 AC= x 米，那么 AD=AB=AC+CB=x0.52+1.52=（ x+0.5 ）2x5本章共课时解之得 x=2.故水深为 2 米.题型四：利用勾股定理求线段长度例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD中 AB=8cm,B C=10cm,在边 CD上取一点 E，将 ADE折叠使点D恰好落在 BC边上的点 F，求 CE的长 .解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。 合理设元是关键。详细解题过程如下：解：根据题意得 RtADERt AEF AFE=90, AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm，则 DE=E
7、F=CD CE=8x在 RtABF中由勾股定理得：222222，AB+BF=AF，即 8 +BF=10 BF=6cm CF=BCBF=106=4(cm)在 RtECF中由勾股定理可得：222222EF=CE+CF，即 (8 x) =x +4 6416x+x2=2+16 x=3(cm), 即 CE=3 cm6本章共课时注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积第课时第十八章勾股定理一基础知识点：1：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长： a、b、c，则有关系 a2+b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化
8、为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：7本章共课时（ 1）首先确定最大边， 不妨设最长边长为： c；（ 2）验证 c2 与 a2+b2 是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC 是以 C 为直角的直角三角形（若 c2a2+b2，则 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形； 若 c2a2+b2，则ABC 为锐角三角形）。（定理中 a ， b ， c 及 a 2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的， 如若三角形三边长 a ，b ，c 满足 a2 c2 b2 ，那么以 a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边）2：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
9、区别：勾股定理是直角三角形的性质定理， 而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题， 那么另一个叫做它的逆命题。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长222a，b，c 有下列关系： a +b c ，?那么这个三角8本章共课时形是直角三角形； 该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算， 通过学习加深对 “数形结合 ”的理解我们把题
10、设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题， 那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）二、经典例题精讲题型一：勾股定理和逆定理并用例题 3如图 3，正方形 ABCD中， E 是 BC边上的中点， F 是 AB上一点，且 FB 1 AB 那C4么 DEF是直角三角形吗？为什么？ABD解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。 仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由 FB1 AB 可以设 AB=4a，那么 BE4=CE=2 a,AF=3 a,BF= a, 那么在 Rt AFD 、RtBEF和 Rt CDE中，分别利用勾股定
11、理求出 DF,EF和 DE的长，反过来再利用9本章共课时勾股定理逆定理去判断 DEF是否是直角三角形。详细解题步骤如下：解：设正方形 ABCD的边长为 4a, 则 BE=CE=2 a,AF=3 a,BF= a2222在 RtCDE中，DE=CD+CE=(4 a) +(2 a)2=20 a2同理 EF2=5a2, DF 2=25a2在 DEF中， EF2+ DE2=5a2+ 20a2=25a2=DF2 DEF是直角三角形，且 DEF=90 .注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。题型二：利用勾股定理逆定理判断垂直例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与 AB边和 CD边，他测得 AD=80c m，AB=60cm，BD=100cm，AD边与 AB边垂直吗？怎
