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1、平行关系的判定与证明一、知识梳理：1、平行关系：(1) 直线与平面平行：直线a与平面a没有公共点，称直线a平行于平面a ,记为a/a判定定理： 符号表示： 性质定理：符号表示：平面与平面平行：平面a与平面卩没有公共点，则称平面a与平面卩平行，记为a /卩判定定理：符号表示：性质定理： 符号表示： 2、常见平行关系：(自己用符号表示)(I) 、平行于同一条直线的两条直线平行。( 2)、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。(3)、如果一条直线和一个平面平行，过这条直线的平面与该平面相交，则这条直线和交线平行。( 4)、如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个平面的交线平行。( 5)、
2、两平面平行且同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(6)、平面外一条直线平行与平面内一条直线，则该直线与此平面平行。( 7)、两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。(8) 、平面外两条平行线，如果其中一条平行于该平面，则另一条也与此平面平行。(9) 、一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则两个平面平行。(10) 、一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。(II) 、垂直于同一条直线的两个平面平行。(12) 、同时平行于第三个平面的两个平面平行。二、典例精析考点一 直线与直线平行的判定面面平行法；( 5)线面垂直法；( 6
3、)向量法。CABA1判定直线与平面平行，主要有以下几种方法：(1)平几法；(2)线线平行法；(3)线面平行法；(4)丄、如图2-72,棱长为a的正方体ABCD-AiBiCiDi 中, E、F分别是Be CiDi的中点，(1)求证：E、F、B、D四点共面;2)求四边形 EFDB 的面积证明：如答图所示，连结Bp，在C1B1D1中，CE = EB, CJ = FD.EF/BD，且 EF= B D，又 A A/ B B，A A/ DD,：BB/ D D，i i2111 i i ii i四边形BB1D1D是平行四边形.B1D/BD, EF/BD, .E、F、D、B四点共面2由 AB = a，知 BD
4、= BD=a/2 a, EFa,厶DF = BE： BB2 + B E 2 a 】+9第I门題烷含注解善用图门】聡向法幫甞用底2 a , 过 F 作 FH丄 DB 于 H,贝9 DH DB -EF 辽 a252183、2 、df2-dh24a2-16a216a2 = Va四边形的面积为 5冇丄(EF + BD) x FH _ 丄a + -2a) x 32 a EFBD 22 242242、(11年安徽本小题满分12 分)如图，ABCDEFG为多面体，平面ABED与平面CFD垂直，点O在线段 AD 上, OA 二 1,OD 二 2, OAC , ODE , GDE 都是正三角形。(I)证明直线B
5、C EF ； (II)求梭锥F GBED的体积。(17) I本小JH満分口分M題和r縄与畀线，灯线峙平面、平断坤平审的位明.我血毎州积的订丫广；肛f：划i氐号W；间患累傕打+捕珅论证忑力和辽貝求筛施九(1 |综會薩证赫;设&址熾段山 号线威甜 碰丘线的交曲.I1E 都母H 亀臥所注(Hi- ! fit； = (if=2r同鳳业旷碗股侧与钱段啟培谊线卸玄k城谢于cGDA的上*所以G与氓舍.A匕口.”中.由nf 打址Him HF, i4W/f. &侶上必 用f炉附所LY HC S纽疋尸的中位线.战HC/ EK(阖劇过0.卜作 呻：口+堂ina啊L曲平面I0JL7J J杓詔 WC+ )31 Ap 1
6、 r-ip； UiEh,曲Q为坚輛暉点.律为士輪正向*而为、轴正烏菇为A抽正向.建工加图所示空阿直角卑标 |L由:刪I Wei 3.0. ol xot i.门 5目?h c(oT : h唧 /( ftc=t 一弓 jl /7=(总 +。八 J).所厲A?=2rtZ即側/ff：Z卜:卜:()解：由60打0.2ZiWtfwCO*.知垃训拿 訴AOE血是边检为2的疋丘角形*敗畠、W1S注+s昶id点F惮蟻丄山儿交也 于戎Q,曲平 ABED 1 T ACft)知* FQ 4tJSES棱粮F-0处的: FQ $唤.务考点二 直线与平面平行的判定判定直线与平面平行，主要有三种方法：（1）利用定义（常用反证
7、法）；（2）利用判定定理：关键是 找平面内与已知直线平行的直线。可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角 形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。（3）利用面面平行的性质定理：当两平 面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一平面。（4）向量法注：线面平行关系没有传递性，即平行线中的一条平行于一平面，另一条不一定平行于该平面。1、右图是一个直三棱柱（以AiBC为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为11ABC 已知AB = BC = 1，上ABC = 90，i i11111AA =4,BB =2,CC =3。iii1）设点O是AB的中点，证明:OC/平
8、面ABC ；1112）求此几何体的体积；1）证明：作OD AA 交 AB 于D，连CD .则OD BB CC .ii i ii因为O是AB的中点，所以OD = 2(AAi + BB, = 3 = CCi，则ODCC是平行四边形，因此有OCCD.iCi D U 平面 Ci Bi Ai 且 OC 9 平面 C B- A-111则 OC 面 Ai(2)因为 BH = -2 所以 Vb - aa2c2c= 3 Saa2c2c2 2 2 2护=i2)DC u平面ACD,所以PQ /平面ACDV= SAiBiCi - A2BC2 AiBiCi3所求几何体体积为 V = VB - AA2C2C + VAiB
9、iCi-A2BC2 = 22、（2009 浙江）如图，DC丄平面 ABC,EBDC,AC二BC二EB=2DC=2, ZACB=12OO,P、Q分别为AE、AB的中点（1）求证:PQ 平面ACD求AD与平面ABE所成的角的正弦值.（I）证明：连接DP, CQ，在AABE中，P, Q分别是AE, AB的中点,flO所以 PQ/2BE，又DC/ BE，所以 PQ/DC，又PQ 9 平面 ACD ,(II)在 AABC 中，AC = BC = 2, AQ = BQ，所以 CQ 丄 AB而DC丄平面ABC, EB/DC，所以EB丄平面ABC而EB u平面ABE,所以平面ABE丄平面ABC,所以CQ丄平面
10、ABE由（I）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP/CQ所以DP丄平面ABE,所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,所以直线AD与平面ABE所成角是ZDAP在 RtAAPD 中，AD = AC2 + DC2 =十 12 = 丫5，DP = CQ = 2sin ZCAQ = 1所以 sinZDAP 二 DPADE、E 、F 分别是棱 AD、AA 、AB 的中点。 11（1） 证明：直线 EE /平面 FCC ；（2）求二面角B-FC -C的余弦值。1解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A BCD中,11111EAFB1取A1B1的中点F1，连接 A1D, C1F1，CF1，因为 AB=4, C
11、D=2，且 AB/CD,所以 CD/=/A1F1， A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA】的中点，所以EE1/A1D, 所以CF/EE,又因为EE农平面FCq, CF u平面FCC,1E:F F rn:DC0：1所以直线EE/平面FCq.（2）因为AB=4, BC=CD=2,、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF,BCF为正三角形，取CF的中点0,则0B丄CF,又因为直四棱柱ABCD-A】 BC D中,CC】丄平面ABCD，所以CC】丄B0，所以0B丄平面CCJ过0在平面CCJ内作0P丄C1F,垂足为P,连接BP,则Z0PB为二面角B-Fq-C的一
12、个平面角，在ABCF为正三角形中,OB =-3,在RfCC F中，OPFCC酥竺=竺OP = 亠 x 2忑,11 CC C F722772，在 RtOPF 中,BP = OP2 + OB2 二2+3 =罟,cos zope = OP了7BP二帀=所以二面角B-FC1-C3、（2009山东卷理） （本小题满分12 分）如图，在直四棱柱ABCD-A1 B1C1 D1 中,底面ABCD为等腰梯形，ABCD, AB=4, BC=CD=2, AA严,的余弦值为解法二：(1)因为AB=4, BC二CD=2, F是棱AB的中点， 所以BF二BC二CFBCF为正三角形，因为ABCD为 等腰梯形，所以ZBAC=
13、ZABC=60，取AF的中点M, 连接DM,贝U DM丄AB,所以DM丄CD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,，则 D (0,0,0) ,A ( *3厂 1,0) ,F ( 3 ,1,0) ,C (0,2,0),C10,2,2 ) ,E,0 )y所EE11)CF 二(賦-1,0) , CC = (0,0,2)FC = (3,1,2)设平面CC1F的法向量为所以n CC = 0_ 1吊:r取n=而,则n -碍=写V3+ix 0 = 0,所以n丄EE】，所以直线EE/平面FCC.FB= (0,2,0),设平面BFCi的法向量为n1 = S人,z)，则n FB = 01所以
14、n FC = 0J丄1y = 013 x + y + 2 z = 01 1 1取 n = (2,0, ：3)，则 n n = 2 x 1、：3 x 0 + 0 x3 = 2,I n上 J1 + &3)2 = 2J n 1= 22 + 0 + ( 3)2 =組,/、n n2V?、V7所以COn，n=十=，由图可知二面角B-FC -C为锐角，所以二面角B-FC -C的余弦值为丐1 I nII n I 2x771171【命题立意】：本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算考查空间想象能力和推 理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.4、(11天津本小题满分13分)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，ZADC = 45。, AD = AC = 1, O为AC中点，PO 丄平面 ABCD，PO = 2，M 为 PD 中点(I) 证明：PB平面ACM ；(II) 证明：AD丄平面PAC
