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1、世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（ d ）个元素。A、2 B、5 C、7 D、103、在群G中方程ax=b，ya=b， a,bG都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样)4
2、、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、设集合；，则有。2、若有元素eR使每aA，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。4、偶数环是整数环的子环。5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。6、每一个有限群都有与一个置换群同构。7、全体不等于0的有理
3、数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么-。9、一个除环的中心是一个-域-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积： 可知为奇置换，为偶置换。 和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：
4、，所以，表示法唯一。3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域 证毕。近世代数模拟试题二一、 单项选择题二、 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G
5、为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ b ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：
6、任一个子群都同一个-变换全-同构。2、一个有单位元的无零因子-交换环-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-25-。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-模n乘余类加群-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-2-。6、若映射既是单射又是满射，则称为-双射-。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-不都等于林-使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-单位元-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-消去律成立-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，
7、共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(1 2)，写出H的所有陪集。2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？1、解：H的3个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H的3个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3102+85102=185+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=
8、ab/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、证明 设e是群的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若xG也是a*xb的解，则xe*x(a1*a)*xa1*(a*x)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为，称之为模m剩余
9、类。若mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题1、6阶有限群的任何子群一定不是（ c ）。A、2阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有（ c）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ）A、偶数 B、奇数 C、4的倍
10、数 D、2的正整数次幂A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除关系） D、 (P(A),)5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-的，每个元素的逆元素是-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则-a-。3、区间1，2上的运算的单位元是-2-。4、可换群G
11、中|a|=6,|x|=8,则|ax|=24。5、环Z8的零因子有 -。6、一个子群H的右、左陪集的个数-相等-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商权-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-特征-。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-mIn-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S1，S2是A的子环，则S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类
12、进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，等等，可得总共8种。2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b, abS1和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1，；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。1、证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那
13、么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证毕。2、证 必要性：将b代入即可得。充分性：利用结合律作以下运算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，近世代数模拟试题四一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AB中含有（ d ）个元素。A.2 B.5 C.7 D.102.设ABR(实数集)，如果A到B的映射：xx2，xR，则是从A到B的（ c ）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（ d ）个。
