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1、第3章 时域连续信号的复频域分析3.1 学习要点1.拉普拉斯变换的定义 (3-1) (3-2)式（3-1）和（3-2）称为双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换对。 (3-3) (3-4)式（3-3）和（3-4）称为单边拉普拉斯变换对。通常用下列符号分别表示，即 (3-5) (3-6)也可用双箭头表示复变函数称为的象函数，时间函数称为的原函数。Laplace变换则建立了连续信号时域和复频域 (域)间的联系。2.拉普拉斯变换的收敛域对于单边信号，当时，若存在一个值使得时，的极限等于零，则在的全部范围内满足绝对可积，Laplace变换存在。这一关系可表示为， (3-7)与的特性有关，它给出了Laplac
2、e变换存在的条件。一般而言，的收敛域如图3-1所示。在以为横坐标，为纵坐标的平面上，这一区域称为Laplace积分的收敛域或象函数的收敛域。横坐标称为收敛坐标，直线称为收敛轴。而双边Laplace变换可以看成两个单边Laplace变换的叠加，其收敛域一般有两个有限边界：一个边界决定于时的，是收敛域的左边界，用表示；另一个边界决定于时的，是收敛域的右边界，用表示。如果，有公共收敛域，双边Laplace变换存在。反之，双边Laplace变换就不存在。图3-1 单边Laplace变换收敛域一般而言，1) 凡是定义在有限区间上的能量信号，不管取何值，都能使信号的Laplace变换存在，其收敛域为整个平
3、面。2) 如果信号是等幅信号或等幅振荡信号，如阶跃信号、正弦信号，只要乘以衰减因子就可以使之收敛，因此其收敛域为右半平面。3) 对于任何随时间成正比的的正幂次信号，其增长速度比指数信号要慢得多，对其乘以衰减因子也可收敛，因此其收敛域也是右半平面。4) 对于指数信号，在平面的区域可收敛。而对于一些比指数阶函数增长快的非指数阶函数，如，信号，不存在相应的衰减因子，故其Laplace变换不存在。3.常用信号的Laplace变换表3-1 常用信号的Laplace变换序号单边信号Laplace变换收敛域12345(为正整数)67891011124.拉普拉斯变换的基本性质表3-2单边拉普拉斯变换的性质序号
4、名称结论1线 性2尺度变换,3时 移4复频移5时域卷积6复频域卷积7时域微分 8时域积分， 9复频域微分10复频域积分11初值定理12终值定理6.拉普拉斯反变换(1) 查表法表3-3 单边Laplace变换表序号1234567891011121314151617其中，1819202122232425(2) 部分分式展开法如果象函数是的有理分式，它可写为 (3-8)式(3-8)中，各系数均为实数，为简便且不失一般性，设。若，可用多项式除法将象函数分解为有理多项式与有理真分式之和，即 (3-9)式(3-9)中，的幂次小于的幂次。例如由于，故式(3.4-2)中多项式的Laplace反变换由冲激函数及
5、其各阶导数组成，容易求得。下面讨论象函数为有理真分式的情况。部分分式展开的第一步是把分母进行因式分解；第二步是根据极点的类型，分别求取待定系数。下面分别讨论极点为单实根、共轭复根和多重根时待定系数的求解方法。1) 的所有根均为单实根如果方程的所有个单实根互不相等，那么根据代数理论，可分解为以下形式 (3-10)式(3-10)中，为待定系数。可见，只要将待定系数求出，由，并利用线性性质，可得的原函数 (3-11)求待定系数时，将式(3-10)两边各项同成以因子，再令，等式右边仅留下项，有 (3-12)2) 具有共轭复根且无重复根如果方程具有共轭复根且无重复根，可比照的所有根均为单实根的情形来进行
6、Laplace反变换，但计算复杂，简便实用的方法是将二项式因子配成二项式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来解。例如再由，并利用线性性质和复频移性质，可得3) 含有重根如果方程含有一个重根，即则(3-13)的非重根因子对应的系数用前述方法求得；求重根因子对应的系数，可将式(3.4-6)两边同乘以，有 (3-14) 将代入上式，可得 (3-15)将式(3-15)两边对求导，并令可得 (3-16)以此类推，可求得重根项对应的所有系数，其求解的一般公式为 (3-17)再由，并利用复频移性质得，可得的原函数 (3-18)7.拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系单边拉普拉斯变换与傅里叶变换的定义分别为，
7、(3-19) (3-20)设拉普拉斯变换的收敛域为，依据收敛坐标的值可分为以下三种情况。(1) 函数的傅里叶变换不存在。(2) 因果函数的傅里叶变换 (3-21)(3) 设有个虚根(单根) 。将展开成部分分式，并把它分为两部分，其中极点在左半平面的部分令为。这样，象函数可以写为 (3-22)函数的傅里叶变换 (3-23)如果在轴上有多重极点，譬如若在处有重极点，而其余极点均在左半平面，则的部分分式展开为 (3-24)则的傅里叶变换为 (3-25)3.2 精选例题例1已知，且求（1）的象函数；（2）的象函数。解：(1)方法1：先频移后尺度方法2：先尺度后频移(2)方法1：先尺度后频移方法2：先频
8、移后尺度由于例2计算例2图所示各信号的Laplace变换。 (1) (2)例2图解：(1) 由利用积分性质可得(2) 是周期为2的“单边”周期函数，其第一周期的函数及变换为因此例3计算下列函数的单边Laplace反变换。(1) (2) (3) 解：(1) (2) (3) 3.3 习题精解1求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。解：收敛域为。收敛域为。收敛域为。收敛域为。收敛域为。2利用拉普拉斯变换性质，求下列信号的拉普拉斯变换。 解： (1) 因为 利用复频域微分性质，有即 (2)(3)(4)因为 根据拉普拉斯变换时域频移性质，有3求下列函数的拉普拉斯反变换。 解： （1）根据时延性质（2）将
9、整理成周期形式又 则是第一周期单个函数为、周期的周期函数，所以（3）因为由卷积定理知 其中 所以4用部分分式法求下列函数的拉普拉斯反变换。 解： （1）由于中，首先用长除法运算得对真分式展开成部分分式其中 则原式为 所以 （2）原式展开成部分分式所以 （3） （4） 5求下列函数拉普拉斯反变换的初值。 解： （1）（2）由于是有理分式，但不是真分式，利用长除法将其分解为则（3）6求下列函数拉普拉斯反变换的终值。 解： （1）令，得极点有极点在虚轴上，故不能用终值定理，无终值。（2）因为，的极点均在的左半平面，故满足终值定理，因此有 7 已知的象函数为，求其傅里叶变换。解：的收敛坐标，在轴上有一个一阶极点，在左半平面有一个一阶极点。将展开为部分分式，得由式(3.5-6)得的傅里叶变换为72
