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1、1什么是线性空间?答:设V是一个非空集合,P是一个数域,在V中定义了一个加法运算,在P和V的元素之间定义了一个数量乘法运算.如果上述两种运算满足以下规则,那么就称V为P上的一个线性空间(或称向量空间).1).；2).；3).V中有一个元素0，都有，0称为V的零元素；4).，存在，使得，称为的负元素；5).；6).；7).；8).；其中，表示V中的任意元素；，表示P中的任意数2非空集合在定义了加法和数乘运算之后成为P上的一个线性空间，V能否再定义另外的加法和数乘运算成为P上的另一个线性空间？答：有可能例如，全体二元实数列构成的集合1).定义，则V成为R上的一个线性空间2).定义，则V成为R上的另
2、一个线性空间.3线性空间V有哪些简单性质与结论？答：1）零元素是唯一的；2）的负元素是唯一的；3）；4）；5）；6）；7），存在唯一的，使得.证明：容易验证1）3），4）因为，所以为（）的负元，即.5）.另一式子可类似证明.6）.7）又若也是的解，则.两边左加，有.所以方程在V中有唯一解.4判断一个非空集合M不是线性空间有哪些基本方法？答：1）M是至少含两个元的有限集；2）M关于定义的某一运算不封闭；3）M不满足8条规则中的任一条.5线性空间的例子.答：1）数域P按照数的加法和乘法构成自身上的一个线性空间.特别的，实数域R和复数域C按照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域数域，按照
3、数的加法和乘法，P构成P上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全体再添加零向量，对于向量的加法与数乘运算构成一个实线性空间.4）分量属于数域P的全体n元数组，对于n元数组的加法与数乘构成P上的一个线性空间，记作.5）无穷实数列的全体：，对于构成一个实线性空间.6）n元齐次线性方程组的解向量的全体，对于n维向量的加法和数乘构成P上的线性空间（为的子空间）.7）元素属于数域P的矩阵的全体，对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间.8）数域P上全体n阶对称（反对称，上三角）矩阵对于矩阵的加法与数乘构成P上的线性空间.9）设，则全体与A可交换的矩阵的集合，对于矩阵的加法与数乘构成的一个线性空间.10）
4、数域P上全体满足条件（表示A的迹，即A的主对角线元素之和）的n阶矩阵的集合，对于矩阵的加法和数乘构成P上的一个线性空间.11）数域P上全体一元多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间，记作.12）次数小于n的一元多项式及零多项式的集合，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间，记作.13）集合对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R上的线性空间.14）数域P上形如的多项式的全体，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间.15）数域P上多项式的倍式的全体：，对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成P上的线性空间.16）由0及数域P上的m元n次多项式
5、的全体，对于多项式的加法及数与多项式的乘法构成P上的线性空间，其中.17）对于在区间上的实函数的全体，对于函数的和及数与函数的积，构成R上的线性空间.上的连续实函数全体为其子空间，记作.18）全体形如的实函数，对于函数的和及数与函数的积，构成R上的线性空间.6下列集合关于指定运算均不构成线性空间：1）起点在原点，终点在不经过原点的直线上的空间向量的全体，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b0)的解向量的全体，按向量的加法与数乘运算；3）数域P上次数不低于定数n的多项式的全体并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域定义运算：5）设P为有理数域，对整数集定义运算：
6、.证：1）集合不含零向量，所以不是线性空间.2）如果集合是空集，则不是线性空间. 如果集合非空，则由于不含零向量，所以也不是线性空间.3）因两个次数不低于n的多项式之和的次数可能低于n，即关于多项式的加法不封闭，所以不是线性空间.4）因不满足线性空间定义中的规则5），所以不是自身上的线性空间.5）取则而.故（），不满足线性空间定义中的规则7），所以集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？ 答:设V是数域P上的线性空间,且，如果存在一组不全为零的数，使得， （1）那么称向量组是线性相关的，否则，称它们是线性无关的.注 一个向量不是线性相关,就一定是线性无关,两者必居其一且仅居其一
7、. 线性无关 （1）式仅当成立.8.设线性相关,是否对任意一组不全为零的都有？答:不一定，比如是线性相关的，它对一切非零数都有.而就不可能对一切非零数使得.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？答：设都是数域上的维向量，如果有中的个数，使，那么称是的线性组合，或称可以由线性表出（线性表示）. 如果向量组中每个向量都可以由向量组线性表出，且中的每个向量都可以由线性表出，那么称向量组与向量组是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？答：是的.不难证明以下三条成立：1） 反身性：每一个向量组都与自身等价.2） 对称性：如果与等价，那么也与等价.3） 传递性：如果与等价，而与等价，那么与
8、等价.11.向量的线性相关性有哪些主要性质？答：容易证明的有：1） 零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的2） 单个非零向量是线性无关的.3） 设向量组，则它们线性相关至少存在一个向量，它可以由其余向量线性表出.4） 向量组中如果有部分向量线性相关，则一定线性相关.5） 向量组线性无关，则的任意一个部分组必线性无关.6） 向量组可以由向量组线性表出，则线性无关.7） 任意个维向量必线性相关.8） 两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量.12. ，则线性相关有非零解，其中.7.设，令则 1）若线性相关线性相关； 2）若线性无关线性无关.证：1）若存在不全为零的数，使，则当然有
9、.2）用反证法.若线性相关，则由1）知也线性相关，矛盾.13.如果线性无关，但线性相关，那么可由线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数使.若，则由，可证.这与假设矛盾，故，于是，其中.即可由线性表出.若，则.由线性无关，得，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？答：如果向量组的一个部分组满足1） 此部分组线性无关；2） 原向量组每个向量都可由这个部分组线性表出，则称此部分组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是否唯一？答：一般不唯一.比如，则是的极大线性无关组；也是的一个极大线性无关组.注：一个向量组有多
10、个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也互相等价.由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为.17.设是数域上的线性空间，且线性无关，其中，再设，其中为的维向量.若，且为的一个极大线性无关组，则1）由（1）式知. （2） 先证线性无关.设，那么 （3）因为线性无关，由（3）知 （4）在中，线性无关，由（4）知. 其次，再任取，那么可由线性表出，即，于是.综合、，即知为的一个极大线性无关组.2）由1）即得.注：这解决了求抽象线性空间的向量组的秩的问题.
11、同时还把求极大线性无关组的问题转化为求中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）.18.设，求，的极大线性无关组.解：把都看成中元素，取中一组基，那么 （1）令可求出的一个极大线性无关组为.于是（1）式中相应的为的一个极大线性无关组.19.设为线性空间的一组基，那么而，所以向量组的秩等于3.20.设的秩为，是中个向量，使得中每个向量都可被它们线性表出，则是的一个极大线性无关组.证：由假设可知可由线性表出，但可由线性表出是显然的，从而彼此等价.那么.线性无关.21.如果向量组可以由向量组线性表出，那么的秩不超过的秩.证：当向量组的秩为无穷时，结论显然成立.当时，由假设的极大线性无关组也可
12、由的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证.注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设，维标准单位向量可被它们线性表出，则线性无关.证：显然可被线性表出，又可被线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知.即知线性无关.注：这个命题的逆命题也是对的.在抽象的维线性空间中，此命题可改为：设为的一组基，且可由线性表出，则也是的一组基.也可改述为：设是线性空间中的一组维向量，则线性无关中任一维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组.证：设维向量组中一个线性无关组，如果中每个向量可经线性表出，则为的一个极大无关组.否则至少有一个向量不能由线
13、性表出，将添到中成为向量组，则中向量是线性无关的.这样继续下去，经过有限步（不大于）后，向量组即可扩充为的一个极大无关组.24.设向量组线性无关，线性相关.证明：或者与中至少有一个可由线性表出，或者与等价.证：因线性相关，所以存在不全为零的数使.显然，不全为零，否则与线性无关矛盾.当时，可由线性表出；当时，可由线性表出，可由线性表出，因而与等价.25.设且线性无关，则线性无关.其中是数域上的矩阵.证：令.因线性无关，所以.必要性 设线性无关，即.所以，即.充分性 设，即，从而.所以线性无关.26. 设向量组的秩为，在其中任取个向量，则.证：设的秩为，现将它的一极大无关组（含个向量）扩充为的一个
14、极大无关组（含个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为.因除向量组外，还有个向量，因此，即.27.设，则1）与有相同的秩；2）的任意一个极大线性无关组也是的极大线性无关组.证：1）由假设知可由线性表出.但是 （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得即也可由等价，所以.2） 由1）知与等价，可知的一个极大线性无关组就是的一个极大线性无关组.28.设向量组中且每个都不能由线性表出，则线性无关.证：用反证法.如果线性相关，那么有不全为零的数使 （1）从右至左，设第一个不为零的数是，而，则（1）式为.因，所以，故.即可由线性表出，此与题设矛盾.所以线性无关.29.如果是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.如果它们线性相关，即存在不全为零的数，使.不妨设，则.此式说明的最大公因式就是的因式，即.此与及矛盾，所以线性无关.30.设线性无关，则线性无关的充分必要条件是为奇数.证：令，由题设得，其中按第一行展开，而线性无关的充分必要条件
