《段正敏主编《线性代数》习题解答(重庆大学版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《段正敏主编《线性代数》习题解答(重庆大学版)（143页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数习题解答 教材：段正敏，颜军，阴文革:线性代数，高等教育出版社，2010。张应应 胡佩2013-3-1目 录第一章行列式1第二章矩阵22第三章向量组的线性相关性50第四章线性方程组69第五章矩阵的相似对角化91第六章二次型114附录：习题参考答案129第一章 行列式1填空题： （1）3421的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为. （2）517924的逆序数为 7 ；解：该排列的逆序数为. （3）设有行列式=，含因子的项为 -1440，0 ；解：所以含因子的项为-1440和0.（4）若阶行列式；解：行列式中每一行可提出一个公因子，.（5）设，则的根为 1，2，-2 ；解：是一个Vand
2、ermonde行列式，的根为1，2，-2.（6）设是方程的三个根，则行列式 0 ；解：根据条件有比较系数可得：，再根据条件得：原行列式. （7）设有行列式=0，则= 1，2 ；解：.（8）设，则多项式中的系数为 0 ；解：按第一列展开，中最多只含有项，含有的项只可能是不含项，中的系数为0.（9）如果=0，则= 2 ；解：.（10）= -abcd ；解：将行列式按第一行展开：.（11）如果=1，则= 1 ；解：.（12）如=2，则= -16 ，= -4 ，= -4 ；解： .（13）设阶行列式=，且中的每列的元素之和为，则行列式中的第二行的代数余子式之和为=；解：实际上，由上述证明过程可知任意行
3、代数余子式之和. （14）如果=1，则= -1 ，=；解：令，则.（15）设有行列式，则元素的余子式=，元素2的代数余子式=；（16）设=，的代数余子式，则 0 ；解：方法一：可看成中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：. （17）设=，的代数余子式，则 0 ；解：. （18）设，则的系数为 6 ；解：方法一： 方法二：只有一项非0综上所述：的系数为6.（19）设， 且 ，则=；解：方法一：令，则,证明：根据行列式性质2和5，将行列式变成下三角行列式，得到：行列式、的变换和行列式的变换完全相同，得到：分别将、第一次按第一行展开（变成第一行），第二次按第二行展开（
4、变成第一行），总共进行m次第一行展开，得到：；证毕.方法二：设，其中：那么：中依次与对换，使得在下面；依次与对换，使得在下面，在上面；依次与对换，使得在下面，在上面；总共进行了次对换。得到：.（20）=.解：同理可得：，则. 2选择题（1）设多项式=，则多项式的次数为（）（）2 （）3 （）4 （）5解：方法一：多项式次数为3；方法二：多项式次数为3；注意：实际上方法一与方法二思想类似：利用行列式展开定理对行列式降阶，最后求出行列式的值（多项式）.方法三：这四项的最高次项分别为：，多项式次数为3.（2）设为实数且=0，则（）（） （） （）（）解：. （3）设多项式=，则多项式的次数最多为（）
5、（）1 （）2 （）3 （）4解：设，则的次数最多为1.（4），当=（ ）时，0.（）3 （）4 （）5 （）7解：当时，选. （5）为四阶行列式的第列，（=1，2，3，4，），且=，则下列行列式中，等于的是（）.（） （） （）（）解：（）（）方法一：方法二：（）（）3计算下列行列式（1）， （2），（3）， （4） ， （5） ， （6），（7）， （8）.解：（1）（2） （3）（4） （5） （6）方法一： 方法二：（7）（8）方法一：考虑新的行列式，则，即为 的系数，因为将按最后一列展开时，即为 的系数所在项，而由为范德蒙行列式知：因此有：方法二：注：此方法的因式分解有点难！4计算下
6、列阶行列式（1）；（2）， （即）；（3）；（4），其中未写出元素为零；（5），其中未写出元素为零.解：（1） （2）方法一： 方法二： （3） （4） （5）其中： 5证明（1）若行列式中每一个数，则所得行列式与相等；（2）；（3） 证明（1）（2）（3）6证明第三节推论4.证明：设的两行元素对应成比例，则.7证明第三节性质4.证明：证毕.8证明上三角行列式等于对角线上元素的乘积.证明：，由行列式的定义知，第一列只有为非零元，而第二列除第一行外，只有为非零元，同理依次进行.则，其中为逆序数，为0，. 证毕.第二章 矩阵1填空题（1）已知=，则= 0 ； -3 .解：. （2）设则=.解：，.
7、（3）若均为3阶方阵，且，则 -16 .解：. （4）为3阶方阵，且=2，=，则= 6 .其中分别为的1、2、3行.解：. （5）已知=（1，1，1），则| |= 0 .解：. （6）设=满足，则.解：两边取行列式得： ， .（7）设=，则=.解：，（8）设矩阵的秩为2，则 3 .解：由的秩为2，则的所有3阶子式为0.（9）设矩阵，且，则 -3 . 解：由知，即若，则，与已知矛盾，故；若，则，因为有一个三阶子式，与已知相符，故.（10）为5阶方阵，且，则 0 .解：关于原矩阵与伴随矩阵秩的关系有如下结论： 此题中，故.证明：若，则，；若，则，有一个阶子式不为0，于是有一个代数余子式不为0，.
8、因为，所以【见书P110：例9】，故；若，则的所有阶子式全为0，于是所有代数余子式全为0，.（11）设为非零方阵，当时，则= n .解：方法一：，由上题结论可知，由已知为非零方阵，则，故；方法二：为非零方阵，故的对角线元素不全为0，从而为非零方阵，则.（12）矩阵 的逆矩阵为 .解：，则（13）设阶可逆方阵满足2，则 .解：由是可逆方阵知，由. （14）设阶方阵满足，则 4 ，=， .解：，（15）为阶方阵，的伴随阵，则.解：. （16）设的伴随阵，则 .解：. （17）设的伴随阵和逆阵，则 .解：. （18）设，为三阶非零矩阵，且,则= -1 .解：首先证明：方法一：由，若，则可逆，两边左乘
9、得，与矛盾，故；方法二：，设，故，即有非零解，故由定理4.2.1知.综上有. （19）线性方程组，满足条件时有惟一解.解：由克莱姆法则：时有唯一解.（20）当=，线性方程组有非零解.解：有非零解.2选择题（1）设、均为阶方阵，则下面结论正确的是（）（）若或可逆，则必可逆；（）若或不可逆，则必不可逆；（）若、均可逆，则+必可逆；（）若、均不可逆，则+必不可逆.解：可逆，不可逆（）若可逆，不可逆，故不可逆，故（）错误；（）或，故（）正确；（）设可逆，则也可逆，但不可逆，故（）错误；。（），均不可逆，但可逆，故（）错误.（2）设、均为阶方阵，且()=，则（）（）； （）；（）； （）=.解：，两边取
10、行列式，则，故或，故（）正确；（）反例：；（），故（）错；（），故（）错.（3）设、均为阶非零矩阵，且，则和的秩（）（）必有一个为零； （）一个等于，一个小于；（）都等于； （）都小于.解：方法一：，由课本P110例9知：，又、均为非零矩阵，故，同理，故（）正确；方法二：，、均为阶非零矩阵，则、均不可逆，反证：若可逆，则，与矛盾；若可逆，则，与矛盾.（4）设阶方阵经过初等变换后得方阵，则（）（）； （）；（）； （）若,则.解：由题意知，故可逆阵、，使，故（）正确。（）（）（）均不正确，由，可构造、，使（）（）（）不成立.（5）设、均为阶方阵，可逆，则也可逆，且 （）.（）； （）；（）； （
11、）.解：经验证知（）正确，即.（6）设阶方阵满足，则必有（）（）； （）；（）； （）.解：，则、均可逆，且，即，故（）正确.（7）设阶方阵均是可逆方阵，则（）（）； （）；（）； （）.解：，故（）正确.（8）设，若可逆，则（）（）； （）；（）； （）.解：，则，其中，对初等方阵有：故，故（）正确.（9）设是矩阵，是矩阵，则（）（）时必有=0； （）时必有=0； （）时必有0； （）时必有0.解：对（）（）有，故（）正确；对（）（）有，均有可能，故（）（）错误.（10）设=，的伴随阵的秩为1，则（）.（）； （）且；（）； （）且.解：，此题有由若，与矛盾；若，此时，若，则，与矛盾，故. ，故.综上所述，且，（）正确.3写出下列矩阵（1）的32矩阵；（2）的的4阶方阵.解：
