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1、立体几何解答题经典100题一、解答题1如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为4的等边三角形，且平面平面，点为线段中点，点为上的动点.（1）若平面平面，求线段的长；（2）求直线与平面所成角的正弦值.2如图，四边形是边长为的菱形且，平面平面.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.3如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面.（1）求证：平面;（2）求三棱锥的体积.4如图，在等腰三角形中，满足，将沿直线折起到的位置，连接，得到如图所示的四棱锥，点满足（）证明：平面；（）当时，求三棱锥的体积5已知四边形.现将沿边折起，使得平面平面.点在线段上，平面将三棱锥分成两部分，.（1）求证：平面；（2）若
2、为的中点，求到平面的距离.6如图，在三棱锥中，D为棱AB上一点，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上.（1）证明：平面PDE；（2）求三棱锥的体积.7在如图所示的多面体中，是正方形，四点共面，面.（1）求证：面；（2）若，求证：平面.8在四棱锥中，四边形为平行四边形，三角形为等腰直角三角形，已知，（1）求证：；（2）求四棱锥的体积9如图，四边形为正方形，平面，于点，交于点.（1）证明：平面；（2）已知，求四面体的体积.10在三棱柱中，平面平面，点，分别为、的中点（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离11如图，在直三棱柱中，已知，为上一点，且.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平
3、面所成角的正弦值.12图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起得三棱锥，如图乙（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求点到平面的距离13在边长为2的菱形中，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2）（1）证明：平面平面；（2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.14如图所示，直角梯形中，四边形EDCF为矩形，平面平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.15如图，已知三棱柱，平面平面，分别是，的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值；（3）求二面角的正弦值.16如图，在四棱柱
4、中，已知侧棱底面，侧面是正方形，与交于点，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）若点在线段上，且，求二面角的正弦值.17如图所示，四棱锥中，平面，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值；（3）设为上一点，且，若平面，求的长18如图，在多面体中，平面，是平行四边形，且，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.19如图，在三棱柱中，侧棱底面是中点，是中点，是与的交点，点在线段上.（1）求证：平面（2）若二面角的余弦值是，求点到平面的距离20如图，四边形是边长为的正方形，将三角形沿折起使平面平面.（1）若为
5、上一点，且满足，求证：；（2）若二面角的余弦值为，求的长.21如图，在三棱锥中，（1）证明：；（2）有三个条件；直线与平面所成的角为；二面角的余弦值为请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值22如图，在等腰三角形中，满足，将沿直线折起到的位置，连接，得到如图所示的四棱锥，点满足（）证明：平面；（）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值23如图，在四棱锥中，（1）求证：（2）若，求直线与平面所成角的正弦值24如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E是PC上任一点，.（1）求证：平面平面PAC：（2）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.25如图所示的五面
6、体中，四边形是正方形，平面平面，（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值26如图，在圆柱中，四边形是其轴截面，为的直径，且，（1）求证：；高中数学资料共享群734924357（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值27如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，四边形为矩形，平面平面（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小28如图，在四棱锥中，已知，为上的动点（1）探究：当为何值时，平面？（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值29已知在三棱柱中，.高中数学资料共享群734924357（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.30在如图
7、所示的多面体中，是边长为3的正方形，四点共面，面，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.31如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点是的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.32如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，二面角的余弦值为，是棱的中点，（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值33如图，在四棱柱中，是等边三角形，（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值34如图，在多面体中，已知，（1）求证：平面；高中数学资料共享群734924357（2）若，求直线与平面所成角的正弦值35如图，在
8、三棱锥中，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.36在多面体中，已知，（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值37如图，在四棱锥中，底面是菱形，高中数学资料共享群734924357（1）证明：平面（2）若四棱锥的体积为12，求点到平面的距离38如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值39在四棱锥中，（1）若是的中点，是棱上一点，且，求证：平面；（2）当平面平面，且时，求二面角的正弦值40如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，、分别是、的中点（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积41如
9、图所示的五面体中，四边形是正方形，平面平面，.（1）证明：平面面；（2）求三棱锥的体积.42如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面，为棱上一点（1）在平面内能否作一条直线与平面垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能，请说明理由；（2）若时，求直线与平面所成角的正弦值43四棱锥中，面面，且，为中点.（1）求证：面.（2）求点到面的距离.44如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，（1）求证：；（2）求点到平面的距离45如图，在直三棱柱中，点，分别为，的中点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.46如图，在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，点，分别为，的中点.（1）
10、求证：平面；（2）若，求证：平面.47如图，已知三棱柱中，底面，分别为棱，的中点. （1）求异面直线与所成角的大小；（2）若为线段的中点，试在图中作出过，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值.48如图1，四边形为直角梯形，.为线段上的点，且.将沿折起，得到四棱锥(如图2)，使得.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.49如图1所示，在平行六面体中，底面是边长为4的正方形过点的平面与棱，分别相交于，三点，且，（1）求的长；（2）若平行六面体是侧棱长为5的直四棱柱（如图2），求平面与平面所成锐二面角的余弦值50如图所示的几何体由等高的
11、个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且、四点共面（1）证明：平面（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值51如图，四棱椎中，底面为平行四边形，（1）证明：平面平面；（2）若在上，求点到平面的距离.52在如图所示的圆柱中，为圆的直径，是的两个三等分点，都是圆柱的母线.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.53如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，是棱上的动点（除端点外），分别为，的中点（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的最大角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值54如图，是的直径，动点P在所在平面上的射影恰是上的动点C，D是的中点，与交于点E，F是上
12、的一个动点（1）若平面，求的值；（2）若F为的中点，求直线与平面所成角的余弦值55如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，O，H分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.56在四棱锥中，平面，点，在线段上，为线段上的一点（1）求证：平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值57如图，在四边形中，.沿将翻折到的位置，使得.（1）作出平面与平面的交线，并证明平面；（2）点是棱于异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积.58如图，四棱锥的底面内接于半径为2的圆，为圆的直径，为上一点，且平面，.（1）求证：；（
13、2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.59如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD=，且BCCD，以BD为折痕把ABD和CBD向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置(E，F不重合).（1）求证：EFBD；（2）若平面EBD平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G为ABD的重心，且直线EF与平面FBD所成角为60，求二面角A-BE-D的余弦值.60已知梯形如图1所示，其中，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体.（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.61已知菱形边长为，以为折痕把和折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，不重合.（1）求证：；（2）若，求点到平面的距离.62如图，在四棱锥的展开图中，点分别对应点，已知，均在线段上，且，四边形为等腰梯形，.（1）若为线段的中点，证明：平面.（2）求二面角的余弦值.63点，分别是正方形的边，的中点，点在边上，且，沿图中的虚线、将、折起使、三点重合，重合后的点记为点，如图.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.64如图（1），在等边三角形中，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图2）（1）求证：平面平面；（2）若，求与平面成角的正弦值.65如左图，平面四边形点在边上
