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1、 让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1.为何正比例函数的比例系数是比，而反比例函数的比例系数却不是比？2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下的几何意义面积，例如2016年市中考考察的也是“函数的研究通法，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为教师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比，斜比、直比纵比、横
2、比、纵横比、面积比，可以说“比比皆是！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.二、一道曾经困惑我多时的中考题某年市中考的填空压轴题:如图，的顶点(，)，双曲线经过点、，当以、为顶点的三角形与的相似时，那么.1.常规性解法： 通过设元，例如设(，)，那么(，)，再根据条件列方程： (1)利用、或列方程； (2)利用列方程； (3)利用“一线三等角模型、和列方程. 实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！2.挖掘隐含性质，巧解此题 (1)实际上，此图中含有一些很重要的性质： 过点作轴于，连接，直线分别交
3、坐标轴于点、. 那么有；，；，. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法整体思想： 由，可得，即，于是， (3)我一个同事的解法斜边转直比： 由，可得，转为横比，因此， (4)我一个学生的解法斜等转直等： 由得，那么， (5)我的第二种解法平行导角度： 由得，于是， (6)下面我们要着重解决两件事：上述性质是否永远成立？如何证明？解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质1.如图，双曲线与矩形边交于点、，直线交坐标轴于点、.如图1，假设，那么；如图2，假设，那么；如图3，假设
4、，那么，直线与的位置关系是，与的大小关系.图1图2图32.如图1，双曲线与直线交于点、，轴于点，轴于 点，请探究直线与的位置关系，线段与的大小关系.如图2，双曲线与直线交于点、，轴于，轴于，轴于，轴于，请探究直线与、的位置关系，以及线段与的大小关系.图1图2四、最常见思想方法斜转直：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线反比例函数()图象交直线于点、，且， 那么的值为. (1)常规方法斜长转直长：，那么，可设(，)，那么(，)，列方程解决； (2)口算巧解斜边转直比： 由，得，转为横比得，那么，2.同类变式题：如图，直线交坐标轴于点、，双曲线交直线于点、.假设，那么的值为；3.难题展
5、示中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29 如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于，分别交，轴于，. (1)求的面积； (2)求证：.4.原创清新小题和近年的中考题： (1)如图1，的面积为，那么的值为. (2)如图2，点，在双曲线上运动，轴，.在运动过程中，的面积是不是定值？答：；假设，且是正三角形，那么点的坐标为. (3)如图3，中，双曲线经过点和中点，那么该双曲线的解析式为. (4)如图4，直线与分别与双曲线交于点、， 那么的值为.图1图2图3图4(5)()如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，那么的值为.(6)如图6，双曲线与直线交于点、.(原创、
6、铺垫)假设、，且，那么；(模拟改编)假设，且，那么；(模拟改编)假设，且，那么. (7)(据上题改编)如图7，为双曲线上的动点，过点作矩形，直线的解析式为，交矩形边于，那么.图5图6图7五、面积比、边比互转1.(原创、铺垫)如图1，直线与双曲线交于点，为双曲线上一点，射线交轴于点，假设的面积为，那么点坐标为；()如图1，直线与双曲线交于点、，为双曲线上一点，射线交轴于点，假设的面积为，那么点坐标为.2.()如图2，轴，轴，双曲线过点、，且，的面积为，那么的值为.图1 图1图33.()如图3，正的顶点在双曲线上，双曲线与边交于点，连接，那么的面积为.4.()如图4，双曲线与直线交于点、，轴，设点
7、的横坐标为.用含的式子表示；假设与四边形的面积和为，那么.5.如图5，双曲线与直线交于点、.(模拟)假设，且，那么；(改编自)假设、，且，那么.图3图4图56.如图6，轴，为中点，延长到，延长到，假设双曲线恰好经过点，且，那么.7.如图7，双曲线过点，过点，假设，均与轴平行，且它们之间的距离长为，那么.8.如图8，直线交双曲线于点，假设，那么.图6 图7 图89.如图，点在双曲线上，轴，延长线交轴于，假设的面积为，那么的值为.10.如图，点、在双曲线上，轴，轴，垂足、分别在轴的正半轴和负半轴上，是的中点，假设面积是的倍，那么的值为.六、反比例函数图象中的“一线三等角构造，初探黄金比例1.如图1
8、，中，双曲线经过点、，且点的纵坐标为，那么的值为.(1)剖析：对于坐标系中的一个直角，假设两条边均“倾斜，我们经常构造“形全等或相似，即“一线三等角模型，或叫“矩形大法，见图2，得.(2)后感：我们可以发现，矩形恰好是一个“黄金矩形，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究 (3)探究(2016某模拟)：如图3，双曲线与矩形的边交于点，假设设点的坐标为(，)，且有，那么.图1图2图32.类似题：(2015临海模拟填空压轴题)如图，双曲线经过点，双曲线经过点，点的纵坐标为，那么，点的坐标为.(个人原创)如图2，中，双曲线经过点，双曲线经过点，且点的纵坐标为，那么的值为
9、.3.难题展示于新华教师原创题 (1)如图1，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处. 求点的坐标. (2)如图2，点(，)，均在双曲线上，过点作轴垂线，过点作轴垂线，两垂线交于点，垂足分别为，将沿翻折，点恰好落在轴上的点处. 求点的坐标.图1图24.如图，矩形的边的解析式为，顶点，在双曲线上.假设，那么点的坐标为；连接，假设是等边三角形，那么.后感：假设能发现，此题将更简单！拓展：如图，正方形的顶点、在双曲线上，、在双曲线上，那么正方形的面积为.5.(2013模拟)如图1，矩形的顶点、在双曲线上，假设点(，)，那么点的坐标
10、为.6.如图2，矩形中，点(，)，点，在双曲线上，假设为中点，那么的值为.图1图27.如图1，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰直角，那么点也在一条双曲线上运动，那么该双曲线的解析式为；如图2，点，在双曲线上运动，以为底边作等腰，那么点也在一条双曲线上运动，假设，那么该双曲线解析式为；如图3，点，在双曲线上运动，以为底作等腰，点在另一双曲线上运动，假设，请用，表示.图1图2图3七、平行导角度，角度导比例1.如图，点，在双曲线上，经过原点，过点作轴，连接并延长，交双曲线于点.求证：；求的值. 根据此题的发现，改编了一个清新小题： 如图，点，在双曲线上，经过原点，过点的直线交该双曲线于点，分别交轴
11、，轴于点，假设，.求的值.2.如图，直线交在双曲线于点、，经过原点，过作交轴于点，连接并延长，交双曲线于点.求的值.3.如图，双曲线与过原点的直线交于点、，点在双曲线上，直线、分别交轴于点、. 假设设，那么.4.如图，双曲线经过点、，求证：.八、纯面积推导1.如图，点(，)，在双曲线上，分别交，轴于，分别交，轴于，. 求证：. (此方法感于新华教师的指导！)2.(2016)如图，均是等腰直角三角形，双曲线经过点，交线段与点，求与的面积之差. 后感：题中条件“，均是等腰直角三角形可如何改变？写出，的关系：.3.()如图5，正的边长为，双曲线经过点、，且，那么的值为.4.()如图1，双曲线经过点、，且，求的值；5.如图2，双曲线经过点、，求证：. 图1图2 /
