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1、周期函数解读实验十周期函数【实验目的】1认识几周期函数的基本看法。2认识周期函数经过四则运算、复合运算、求导运算、积分运算后的周期性。3学习掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】从图形上察看六个三角函数的周期性【实验准备】1周期函数的基本看法函数f(x)是以T为周期的周期函数是指对任何x，有f(xT)f(x).使得上式成立的最小正数T称为函数的最小正周期。2周期函数的四则运算若f(x),g(x)都是周期函数，一般地，他们的和（差）积商都未必再是周期函数。比方f(x)xx在(,)以T11为最小正周期，g(x)sinx在(,)以T2为最小正周期，但f(x)g(x)其实不是周期函数。事实上，对
2、任意实数a0，总有f(a)g(a)f(0)g(0)0.但我们有以下拥有一般意义的结论：若f(x),g(x)都是周期函数，拥有正周期T1,T2，且T1为有理数，则T2f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)(g(x)0)g(x)T1pTqT1pT2是仍是周期函数。事实上，设,p,q是互质的自然数，则可以证明T2qf (x),g(x)的周期，从而是经过四则运算后函数的周期。3周期函数的最小正周期一般说来，周期函数未必有最小正周期。比方，常值函数f(x)c显然是没有最小正周期的，事实上，简单证明任何实数T都是f(x)的周期。可是，特别值的周期函数也未必有最小正周期，比方/11,x是有理数g(x)
3、1，x是理数由于有理数与有理数（无理数）之和必为有理数（无理数），因此任何一个有理数都是g(x)的周期，显然g(x)没有最小正周期。但我们有以下拥有宽泛意义的结论：特别值函数yf(x),xM，若是在M的某聚点处有一单边有限或无量的极限，则f (x)必有最小正周期。特别地，特别值的连续周期函数必存在最小正周期。这个结论的证明这里略去。【实验方法与步骤】练习1图形上察看六个三角函数sinx,cosx.tanx,arctanx,secx,cscx的周期性。正弦函数ysinx在区间6,6画图相应的MATLAB代码为：x=-6*pi:2*pi/30:6*pi;y=sin(x);plot(x,y);xla
4、bel(x);ylabel(y);结果见图10.110.80.60.40.2y 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1-20-15-10-505101520x图10.1函数ysinx的图形从图形中可看出ysinx为周期函数,最小正周期T6.实际上,最小正周期为T26.28.同样,可以画出余弦函数ycosx的图形,见图10.2,其最小正周期也为T2.10.80.60.40.2y0-0.2-0.4-0.6-0.8-1-505101520-20-15-10x图10.2函数ycosx的图形2画正切函数ytanx的图形时,要注意函数在xk上不连续,因此我们只能分别2绘出函数在区间(k,k),k0,1,2
5、,.相应的MATLAB代码为：22x=-1.5:0.01:1.5;x1=x-pi;x2=x+pi;y=tan(x);y1=tan(x1);y2=tan(x2);plot(x,y,x1,y1,x2,y2);xlabel(x);ylabel(y);结果见图10.315105y0-5-10-15-5-4-3-2-1012345x图10.3函数ytanx的图形从图10.3可看出函数ytanx在每个,区间(k,k),k0,1,2,的图形22时同样的,故其最小正周期为.同样,注意到余切函数ycotx在xk,k0,1,2,上不连续,可画出函数在各个区间(k,k),k0,1,2,上的图形,这个函数是以为最小正
6、周期的奇函数.108642y0-2-4-6-8-10-202468-4x图10.4函数ycotx的图形正割函数ysecx1在xk,k0,1,2,上没有定义，它是个无界的偶函cosx数，且是以2为最小正周期的周期函数。34321y 0-1-2-3-4-5-4-3-2-1012345x图10.5函数ysec的图形余割函数y1在xk,k0,1,2,上没有定义，它是个无界的cscxsinx2奇函数，且是以2为最小正周期的周期函数。4321y0-1-2-3-4-101234567-3-2x图10.6函数ysec的图形练习研究函数ysinx2sin2x3sin3x的周期性。在区间6,6画图相应的MATLA
7、B代码为：x=-6*pi:2*pi/30:6*pi;y=sin(x)+2*sin(2*x)+3*sin(3*x);plot(x,y);xlabel(x);ylabel(y);642y0-2-4-6-15-10-505101520-20x图10.7函数ysinx2sin2x3sin3x的图形从图10.7可见，函数ysinx2sin2x3sin3x仍为周期函数，最小正周期T6。事实上，由于y1sinx的周期为2，y22sin2x的周期为，y33sin3x的周期为42，故ysinx2sin2x3sin3x拥有周期T2。3练习3研究函数ysin(xcosx)的周期性。在区间6,6画图相应的MATLAB
8、代码为：x=-6*pi:2*pi/30:6*pi;y=sin(x+cos(x);plot(x,y);xlabel(x);ylabel(y);结果见图10.810.80.60.40.2y0-0.2-0.4-0.6-0.8-1-20-15-10-505101520x图10.8函数ysin(xcosx)的图形从图10.8可见，函数ysin(xcosx)仍为周期函数，最小正周期T6。事实上，简单证明此函数的周期为T2练习4研究练习3中函数ysin(xcosx)的导函数y(1sinx)cos(xcosx)周期性。在区间6,6画图相应的MATLAB代码为：.x=-6*pi:2*pi/30:6*pi; y=(1-sin(x).*cos(x+cos(x);plot(x,y);xlabel(x);ylabel(y);结果见图10.921.510.5y0-0.5-1-1.5-2-20-15-10-505101520x图10.8函数y(1sinx)cos(xcosx)的图形5从图10.9可见，函数ysin(xcosx)仍为周期函数，最小正周期T6。事实上，简单证明此函数的周期为T2练习5求练习3中函数ysin(xcosx)在一个周期0,2的积分值A2sin(xcosx)dx0f(x)xAdx的图形，问f(x)可否仍是周期函数？能察看变上限函数sin(xcosx)0
