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1、高中数学教案 推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知:直线.求证:过直线和直线有且只有一个平面证明:(存在性):在直线上任取两点A,直线上,不共线由公理3,经过不共线的三点可确定一个平面,点在平面内,根据公理1,即平面是经过直线和直线的平面.(唯一性):,点,由公理3,经过不共线的三点的平面只有一个,所以,经过直线和直线的平面只有一个推理模式:存在唯一的平面,使得推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知:直线.求证:过直线和直线有且只有一个平面证明:(存在性): 由平行线的定义,直线和直线在同一个平面内,即平面是经过直线和直线的平面.(唯一性):取, 点A,B,C不共线且,由公理3,
2、经过不共线的三点的平面只有一个,所以,经过直线和直线的平面只有一个推理模式:存在唯一的平面,使得三、讲解范例:例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知:直线两两相交,交点分别为求证:直线共面证法一:直线,直线和可确定平面,即 即直线共面证法二:因为A直线BC上,所以过点A和直线BC确定平面(推论1)因为A, BBC,所以B故AB ,同理AC ,所以AB,AC,BC共面证法三:因为A,B,C三点不在一条直线上,所以过A,B,C三点可以确定平面 因为A,B,所以AB 同理BC ,AC ,所以AB,BC,CA三直线共面问题:在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略,为什么?例2 在
3、正方体中,与是否在同一平面内?点是否在同一平面内?画出平面与平面的交线,平面与平面的交线解:在正方体中,由推论3可知,与可确定平面,与在同一平面内点不共线,由公理3可知,点可确定平面,点在同一平面内,点平面,平面,又平面,平面,平面平面,同理平面平面例3 若,试画出平面与平面的交线解:(1)若时,如图(1);(2)若时,如图(2) 四、课堂练习:1选择题(1)下列图形中不一定是平面图形的是( ) (A)三角形(B)菱形(C)梯形(D)四边相等的四边形(2)空间四条直线,其中每两条都相交,最多可以确定平面的个数是( ) (A)一个(B)四个(C)六个(D)八个(3)空间四点中,无三点共线是四点共
4、面的( ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要(4)若a a,b b,ab=c,ab=M,则( ) (A)Mc(B)Mc(C)Ma(D)Mb答案: D C D A2已知直线a/b/c,直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证:a、b、c、d四线共面. 证明:因为a/b,由推论3,存在平面,使得又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1,下面用反证法证明直线:假设,则,在平面内过点C作,因为b/c,则,此与矛盾.故直线.综上述,a、b、c、d四线共面. 3求证:一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.证明:(用反证法)假设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点,则由公理1,这条直线上的每一个点都在这个平面内,此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.五、小结 :公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据,是命题间逻辑关系的体现,为使命题的叙述和论证简明、准确,应将其证明过程用数学的符号语言表述 六、课后作业:练习册P1 2 P3 3七、课后记:上海市零陵中学 第 1页(共3页)