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1、第2课时一元二次不等式及其解法(二)学习目标1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法知识点一分式不等式的解法一般的分式不等式的同解变形法则：(1)0f(x)g(x)0；(2)0(3)a0.知识点二一元二次不等式恒成立问题一般地，“不等式f(x)0在区间a，b上恒成立”的几何意义是函数yf(x)在区间a，b上的图象全部在x轴上方区间a，b 是不等式f(x)0的解集的子集恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：kf(x)恒成立kf(x)max；kf(x)恒成立kf(x)min.知识点三含参数的一元
2、二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是.在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论1由于0等价于(x5)(x3)0，故y与y(x5)(x3)图象也相同()2x212x等价于(x21)min2x.()3对于ax23x20，当a1时与a1时，对应的不等式解集不能求并集()4(ax1)(x1)0(x1)0.()题型一分式不等式的解法例1解下列不等式：(1)0；(2)1.解(1)0
3、(2x5)(x4)04x，原不等式的解集为.(2)1，10，0，即0.此不等式等价于(x4)0且x0，解得x0(1.解(1)原不等式可化为解得x或x，原不等式的解集为.(2)方法一原不等式可化为或解得或3x0，化简得0，即0，(2x1)(x3)0，解得3x.原不等式的解集为.题型二不等式恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围；(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围解(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，则即4m0.4m0.(2)方法一要使f(x)m5在x1,3上恒成立，就要使m2m
4、60时，g(x)在1,3上是增函数，g(x)maxg(3)7m60，0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.综上所述，m的取值范围是.方法二当x1,3时，f(x)m5恒成立，即当x1,3时，m(x2x1)60，又m(x2x1)60，m.函数y在1,3上的最小值为，只需m即可综上所述，m的取值范围是.引申探究把例2(2)改为：对于任意m1,3，f(x)m5恒成立，求实数x的取值范围解f(x)m5，即mx2mx1m5，m(x2x1)60.设g(m)m(x2x1)6.则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2x120.g(m)在1,3
5、上为增函数，要使g(m)0在1,3上恒成立，只需g(m)maxg(3)0，即3(x2x1)60，x2x10，方程x2x10的两根为x1，x2，x2x10的解集为，即x的取值范围为.反思感悟有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图象建立参变量的不等式求解跟踪训练2当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立，求实数m的取值范围解构造函数f(x)x2mx4，x1,2，则f(x)在1,2上的最大值为f(1
6、)或f(2)由于当x(1,2)时，不等式x2mx40恒成立则有即可得所以m5.题型三含参数的一元二次不等式例3解关于x的不等式ax2(a1)x10.解当a0时，不等式可化为(x1)0，a0，1，不等式的解集为.当a0时，不等式可化为x10，解集为x|x1当a0时，不等式可化为(x1)0.当0a1时，1，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.当a1时，1，不等式的解集为.综上，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.反思感悟解含参数的一元二次不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇
7、到不确定因素时再讨论跟踪训练3解关于x的不等式(xa)(xa2)0.解当a0或a1时，有aa2，此时，不等式的解集为x|axa2；当0a1时，有a2a，此时，不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，原不等式无解综上，当a0或a1时，原不等式的解集为x|axa2；当0a1时，原不等式的解集为x|a2xa；当a0或a1时，解集为.穿针引线解高次不等式观察下列不等式解集与图象的关系猜想第三个不等式的解集.不等式函数图象不等式解集x10(1，)(x1)(x2)0(，1)(2，)x(x1)(x2)0对于函数f(x)(xx1)(xx2)(xx3)(xxn)，不妨设x1x2x3xn.其图象有两个特点：当
8、xxn时，xx10，xx20，xxn0，f(x)0.该区间内f(x)图象在x轴上方从x轴右上方开始，f(x)的图象每穿过一个零点，就从x轴一侧到另一侧变化一次根据这个原理，只要画出f(x)示意图(穿针引线)，即可得到f(x)0(或f(x)2或x1.3不等式1的解集是()A(，1)(1,2 B1,2C(，2 D(1,2答案D解析1，10，0，即0，等价于(x2)(x1)0或x20，故1x2.4若不等式x2xk0在区间1,1上恒成立，则实数k的取值范围是 答案(，2)解析x2xk0，即k(x2x)在区间1,1上恒成立，即k(x2x)min.当x1时，(x2x)min2.k2.5解关于x的不等式：x
9、2(1a)xa0.解方程x2(1a)xa0的解为x11，x2a.因为函数yx2(1a)xa的图象开口向上，所以当a1时，原不等式的解集为x|ax1时，原不等式的解集为x|1xf(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立a0，a0)，两相等实根(0)，无根(x2，x1x2，x1x2.一、选择题1不等式0的解集为()A.B.C.1，)D.1，)答案A解析原不等式等价于解得x1.原不等式的解集为.2若关于x的不等式x24xm0对任意x(0,1恒成立，则m的最大值为()A1 B1 C3 D3答案C解析由已知可得mx24x对一切x(0,1恒成立，又f(x)x24x在(0,1上为减函数，f(x)minf(1)3，m3，m的最大值为3.3若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()A(0,4) B0,4)C(0,4 D0,4答案D解析当a0时，ax2ax10无解，符合题意当a0时，ax2ax10解集不可能为空集当a0时，要使ax2ax10解集为空集，需解得0a4.综上，a0,44设a1，则关于x的不等式a(xa)0的解集为()A. B.C. D.答案A解析a1，a(xa)0.又aa，x或x0(m0)的解集可能是()A.BRC.D
