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1、本资料来源于七彩教育网http:/21、空间向量与立体几何211 空间向量及其运算【知识网络】1了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。2了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。4理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【典型例题】例1（1）已知a=(2，4，5)， b=(
2、3，x，y)，若ab，则（）Ax=6， y=15B。x=3， y= C。x=3， y=15D。x=6， y= （2）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有=x+y+z (x，y，zR)，则xyz1是四点P，A，B，C，D共面的（）A必要不充分条件B。充分不必要条件C充要条件D。既不充分又不必要条件（3）已知 向量a=(1， 2， 3)， b =(2，4，6)，| c |=， 若(a+ b)c =7，则a与c的夹角为（）A30B。60C。120D。150（4）设向量a=(3， 5， 4)， b =(2， 1， 8)，若l1al2 b与z轴垂直，|l1al2 b |=，则l1 ，l2 。
3、（5）在空间直角坐标系O-xyz中，点P(2，3，4)关于yOz面的对称点坐标为 ； 关于z轴的对称点坐标为 ；关于原点的对称点坐标为 ；点P在xOz面的射影的坐标为 。例2 已知为原点，向量，求例3已知向量a，b，c 是空间的一基底，向量 a + b，a - b，c 是空间的另一基底，一向量在基底 a，b，c 下的坐标为（1，2，3），求在基底 a + b，a- b，c 下的坐标。例4 如图所示，在平行六面体中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQQA1=41，设，用基底a，b，c 表示以下向量：B1C1ABMPQA1D1DC例4图（1）；（2）；（
4、3）；（4）【课内练习】1已知A(-1， 0， 1 )，B(x， y， 4 )，C(1 ，4 ，7 ) ，且A，B，C三点在同一直线上，则实数x， y分别为（）Ax=0， y=1B。x=0， y=2C。x=1， y=1D。x=1， y=22已知a=(2，-1，3 ) ，b =(-1，4，-2 ) ，c =(7，5，l)，若a ，b ，c三向量共面，则l等于（）AB。9C。D。3已知空间两个动点A(m，1+m，2+m)，B(1-m，3-2m，3m)，则|的最小值是（）AB。C。D。4已知A(2，3-m，-1+n)关于x轴的对称点是A(l，7，-6 )，则l，m，n的值为（）Al= -2，m= -
5、4，n= -5B。l=2，m= -4，n= -5C。l= -2，m=10，n=8D。l=2，m=10，n=75在空间四边形ABCD中，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则 6已知正方体中，侧面的中心是，若，则 ， 7已知空间两点、，则的最大值和最小值分别为 8已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求证：A，B，C，D共面。9已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1， 2)，点Q在直线OP上运动，求当取得最小值时，点Q的坐标。10设A(2，3，-6)，B(6，4，4)，C(3，7，4)，是平行四边形的三个顶点，试用向量法求此平行四边形的面积
6、。21、空间向量与立体几何211 空间向量及其运算A组1在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：与；与；与；与其中互为相反向量的有n对，则n =（）A1 B2 C3 D42已知点A、B的坐标分别为（-2，3，5）、（1，-1，-7），则向量的相反向量的坐标是（）A（-3，4，12）B（3，-4，-12）C（-1，2 ，-2）D（1，-2，2）3已知a = (1，1，0)，b = (-1，0，2)，且ka+b与2a-b垂直，则k的值为（）A B1 C D4棱长为a的正四面体ABCD中，+的值等于 5空间四边形OABC中，= a， = b， = c， 点M在OA上，且，N为BC的中
7、点，则= （用向量a、b、c来表示）6设i ， j ， k是空间直角坐标系O-xyz中与x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，求同时适合下列条件的向量x:(i2j4k )x0;|x|10;x 在坐标面yOz内 。7已知A(1，-2，3)， B(4，-4，-3)， C(2，4，3)，D(8，6，6)， 试求向量 在向量 方向上的射影 AB。8已知=(10，-5，10)， =(-11，-2，10)，=(-2，-14，-5)，证明：由OA，OB，OC可以组成一个正方体的三条棱，并求出该正方体的其它几个顶点的坐标。（O为坐标原点）21、空间向量与立体几何211 空间向量及其运算B组1已知ABC得三个顶点
8、为A(3，3，2)，B(4，-3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为（）A。 2 B。 3 C。4 D。52已知a=(1t， 1t ， t)， b=(2， t ， t)，则| ba|的最大值是（）A。 B。 C。 D。 3若A(3cosa，3sina，1)，B(2cosa，2sina，1)，则|的取值范围是（）A。0，5 B。1，5 C。(2 ，5) D。1，254已知=(x， 2， -4 ) ，=(-1， y， 3 )， =(1， -5， z)，且 ， ，两两垂直，则x= ，y= 。5已知2+=(0，-5，10)，=(1，-2，-2)， =4， |=12， ， 。6已知ABC的三顶
9、点A（1，-2，-3），B（-1，-1，-1），C（0，0，-5），试证明它是一个直角三角形，并计算它的面积7已知是平行六面体(1)化简，并在图形中标出其结果；(2)设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，试求之值。ABCDGP第8题图8已知在四面体ABCD中，= a，= b，= c，G平面ABC（1）若G为ABC的重心，试证明(a+b+c)；（2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论参考答案211 空间向量及其运算【典型例题】例1（1）D。（2）C。（3）C（4）2，1（5）（-2，3，4），（2，3，-4），（-2，-3，-4），（2，0，4）。例2设，即解此方程组，得。，。例
10、3设在基底+，-， 下的坐标为(x， y ， z)，则+23x(+)+y(-)+z=(x+y)+ (x-y)+ z，解得，故在基底+，-，下的坐标为（，3）。例4连接AC、AD1（1）；（2）；（3）；（4）【课内练习】1B。2D。3C。4D。5。6。7 ，。8A(1，0，1)，B(4，4，6)， C(2，2，3)，D(10，14，17)，=(3，4，5)，=(1，2，2)，=(9，14，16)，令x(3，4，5)y(1，2，2)，则x=2， y=3。=2+3，A，B，C，D共面。9设Q(x， y， z)，因为点Q在直线OP上运动，故与共线，故l，即有 (x， y， z)l(1，1， 2)(l
11、，l，2l)，=(l，l，2l)。又=(1，2，3)- (l， l ， 2l) =(1-l，2-l，3-2l)。=(2，1，2)- (l， l ， 2l)=(2-l，1-l，2-2l)，=(1-l，2-l，)(2-l，1-l，2-2l)=(1-l)(2-l)+(2-l)(1-l)+(3-2l)(2-2l)=6l216l10 =6(l-)2。当l时，取得最小值，此时，点Q的坐标为（，）。10SABCD=ABACsinA=sin。sin= ，SABCD。又易求，=(4，1，10)，=(1，4，10)， |2=117， |2=117， =108，SABCD=45。211 空间向量及其运算A组1B。提
12、示：是互为相反向量2A。提示：向量的相反向量为3D。提示：(ka+b)( 2a-b) = (k-1，k，2) (3，2，-2) = 5k-7=04。提示：而，故=05。6由可设x(0，x2 ，x3)。 即，解得或。x(0，2， )或x(0，2， )。7(4，-4，-3)(1，-2，3)（3，2，6）， (8，6，6)(2，4，3)（6，2，3），而方向上的单位向量是=(， ，)，AB=（3，2，6）(， ，)。8(10，-5，10)(-11，-2，10)110101000；(-11，-2，10)(-2，-14，-5)2228500；(-2，-14，-5)(10，-5，10)2070500。OA，OB，OC两两垂直。又|=15;|=15;|=15;OA=OB=OC，从而OA，OB，OC可以组成一个正方体的三条棱。已知O(0，0，0)，A(10，-5，10)，B(-11，-2，10)，C(-2，-14，-5)，其它几个顶点分别设为D，E，F，G。则=+=(10，-5，10)+(-11，-2，10)=(-1，-7，20)。=+=(-11，-2，10)+(-2，-14，-5)=(-13，-16，5)=+= (-2，-14，-5)+(10，-5，10)=(
