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1、 基础过关第2课时 直线与直线的位置关系（一）平面内两条直线的位置关系有三种_1当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定直线条件关系l1：yk1xb1l2：yk2xb2l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20平行重合来源:Zxxk.Com相交来源:Z#xx#k.Com来源:学科网(垂直)来源:学科网来源:学科网ZXXK来源:Z+xx+k.Com来源:学科网ZXXK来源:学&科&网Z&X&X&K2当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系（二）点到直线的距离、直线与直线的距离1P(x0，y0)到直线AxByC0 的距离为_2直线l1l2，且其方程分别为：l1：AxBy
2、C10 l2：AxByC20，则l1与l2的距离为 （三）两条直线的交角公式若直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，则1直线l1到l2的角满足 2直线l1与l2所成的角(简称夹角)满足 （四）两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数（五）五种常用的直线系方程. 过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不含l2). 与直线ykxb平行的直线系方程为ykxm (mb). 过定点(x0, y0)的直线系方程为yy0k(xx0)及xx0. 与AxByC0平行的直线系方程设为AxBym0 (mC). 与AxByC0垂直的直线系
3、方程设为BxAyC10 (AB0).典型例题例2. 已知直线l经过两条直线l1：x2y0与l2：3x4y100的交点，且与直线l3：5x2y30的夹角为，求直线l的方程解：由解得l1和l2的交点坐标为(2，1)，因为直线l3的斜率为k3，l与l3的夹角为，所以直线l的斜率存在. 设所求直线l的方程为y1k(x2)则tan1k或k，故所求直线l的方程为y1(x2)或y1(x2)即7x3y110或3x7y130变式训练2. 某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与
4、水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）？解 如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.设点P的坐标为（x,y），则P（x, ）(x200).由经过两点的直线的斜率公式kPC=,kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得tanBPC= (x200).要使tanBPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式x+-2882-288,当且仅当x=时上式取得等号.故当x=320时，tanBPC最大.这时，点P的纵坐标y为y=60.由此实际问题知0B
5、PC,所以tanBPC最大时，BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC最大.例3. 直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断ABC的形状解：因为直线y2x是ABC中C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y2x对称，而A(4, 2)关于直线y2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1，y1)则 得即A1(4, 2)由A1(4, 2)，B(3, 1)求得CB边所在直线的方程为：3xy100又由 解得C(2, 4)又可求得：kBC3，kACkBCkAC1，即ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+
6、a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。解：aR且a1，a-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a= -2。（2）若l1l2，则-1 = - ，a=1。（3）若l1l3，则-1 = - a，a=1。（4）若l2l3，则- = -a，a= 1。）例4. 设点A(3，5)和B(2，15)，在直线l：3x4y40上找一点p，使为最小，并求出这个最小值解：设点A关于
7、直线l的对称点A的坐标为(a，b)，则由AAl和AA被l平分，则解之得a3，b3，A(3，3)(|PA|PB|)min|AB|5kAB18AB的方程为y318(x3)解方程组得P(，3)变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为m(m0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2xy0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值解：设l的方程为y1m(x1)，则P（1，0），Q（0，1m）从则直线PR：x2y0；直线QS：x2y2(m1)0 又PRQS | RS |又| PR |，| QS |而四边形PRSQ为直角梯形， SPRSQ()(m)2(2)23.6 四边形PRSQ的面积的最小值为3.6小结归纳1处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直2注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决3利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法4解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4
