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1、本资料来源于七彩教育网http:/27.1 坐标系与坐标变换【知识网络】1. 几种常用的坐标系：直角坐标系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系及其相互转化.2. 平面坐标系中几种常见变换：平移变换、伸缩变换.【典型例题】例1.（1）点的直角坐标是，则点的极坐标为 （C）A B C D 提示：都是点的极坐标.（2）在极坐标系中有下列各点：，,其中.给出下列结论：两点关于极轴所在的直线对称；两点关于过原点且垂直于极轴的直线对称；两点重合；两点关于极点对称；两点重合.其中正确的结论是 （A）A B C D提示：在极坐标系中作出上述各点即可.（3）伸缩变换的坐标表达式为，曲线在此变换下变为椭圆，则曲线的方程
2、为 （A）A B C D 提示：直接将代入的方程.（4）已知空间点的球坐标为，则点的空间直角坐标为_.提示：设一点的球坐标为，直角坐标为，则.（5）在极坐标系中，若点的坐标分别为，则_， .（其中是极点）提示：， 为直角三角形.例2.设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求圆在此伸缩变换下的方程，并指出变换后的方程表示什么曲线.解：由可得，代入圆的方程得，即，它表示中心在原点、焦点在轴上的椭圆. 例3.证明：以为顶点的三角形是等腰三角形.证明：.不存在实数满足, 三点不共线,即可以构成三角形.又因为, 是等腰三角形.例4.在轴上求一点，使它到点与到点的距离相等.解:设所求的点为, , 解之得. 所求
3、的点为.【课内练习】1.在极坐标系中，点和的位置关系是 （D）A. 表示同一点 B关于极点对称C关于极轴对称 D关于过极点且垂直于极轴的直线对称2.空间一点的直角坐标为，则其在相应的柱坐标系中的坐标为 （B）提示：设该点在相应的柱坐标系中的坐标为，则.3. 点为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：； ；.其中可以作为点关于极点的对称点的坐标的是 （C）A. B C D提示：在极坐标系中画出各点，或根据极坐标的意义.4.平面直角坐标系中，点按向量平移至点，则点的坐标为（B）A. B C D 提示：设点的坐标为，则 5. 点的直角坐标为,在的要求下,它的极坐标为 .提示：点的直角坐标为， ，6.
4、 在直角坐标系中，点关于直线对称的点是 . 提示：设点关于直线对称的点为，则的中点为，点在直线上，且直线与直线垂直.7.双曲线的焦点坐标为 ；将此双曲线按向量平移后，可化为标准方程，则 . ；提示：将配方，得，即. 双曲线的中心为，对称轴平行于坐标轴，又，焦点坐标为.设，则有.8.求直线按向量平移后的方程.解：设直线上任意一点的坐标为，平移后的直线上任意一点的坐标为，则有， 即，代入直线的方程，得，化简得. 直线平移后的方程为.9.把圆沿轴方向均匀压缩为椭圆. ，写出坐标变换公式.解： 设坐标变换公式为，由此得，将其代入圆的方程，得，即.与椭圆方程比较，得， .坐标变换公式为.10.已知三角形
5、的三个顶点的极坐标分别为，设为中边上的高，求的面积和点的极坐标.解：， .又为钝角， 点在的延长线上，且， ，点的极坐标为.作业本1.在直角坐标系中，点的坐标为，则在相应的极坐标系中它的极坐标可以是（C）A. B C D2.设点的直角坐标为，则在相应的球坐标系中，点的坐标为 （D）A. B C D提示：由球坐标到直角坐标的坐标变换公式为： ，所以由直角坐标到球坐标的坐标变换公式为：.3. 将直角坐标系按向量平移，新坐标系中的点与原坐标系中的点有相同的坐标，且，则必有 （D） A. B C D 提示：设点在原坐标系中的坐标为，则有，点在原坐标系中的坐标为， ，即.（注意坐标系不变，点按向量平移与
6、坐标系按向量平移的区别）4. 点的极坐标为,则它的直角坐标为 . 5. 直线经过变换可以化为，则坐标变换公式是 .提示：设直线上任一点的坐标为，直线上任一点的坐标为，坐标变换公式为，即，将其代入直线方程，得，将其与比较，得.6.在极坐标系中，求点关于直线的对称点的坐标.解：设点关于直线的对称点为，线段交直线于点，则， 点的极角，又点的极半径相等， ， 点的极坐标为.7.（1）在极坐标系中，求点绕极点按顺时针方向旋转后的坐标；（2）在直角坐标系中，求点绕原点按逆时针方向旋转后的坐标.解：（1）点绕极点按顺时针方向旋转后，极半径不变，极角变为，旋转后点的对应点的坐标为8. 将圆按向量平移后再按坐标变换公式进行伸缩变换，求所得图形的中心坐标、焦点坐标及准线方程.解：圆按向量平移后所得的方程为.设圆上任意一点的坐标为，伸缩变换后对应点的坐标为，坐标变换公式为 ， ，将代入方程，得，化简得，即.此方程中，.方程表示的曲线为椭圆，中心为；焦点坐标为和；准线方程为和.
