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1、第三章 向量组的线性相关性 历年试题分类统计及考点分布分值 考点年份 向量组的线性组合与线性表示线性相关、无关的定义性质及判别向量组的极大无关组与向量组的秩等价向量组、向量的秩与矩阵的秩向量空间、基变换、坐标变换、过渡矩阵标准正交基，正交矩阵其他合计873388338933903391927310936694339596339755984379933003301448020344804440506440744081010093471044合计4483221554本章知识脉络图考点分析1. 向量组线性相关性的概念、性质及判别，考过9次，是重点。2. 矩阵的秩（其中有一道是关于空间解析几何的应用题
2、）及其与向量组的秩的关系考过4次。3. 满秩方阵（既可逆方阵，或非奇异方阵）是一类重要的方阵。如果为n阶方阵，则下列条件相互等价：1) （为非奇异方阵）2) 可逆（为可逆矩阵）3) （为满秩方阵）4) 与同阶单位矩阵行（列）等价5) 可以表示成若干个初等方阵的乘积6) 齐次线性方程只有零解7) 对任意n维列向量，非齐此线性方程组有唯一解8) 的行（列）向量组线性无关.利用这些等价条件，就可以将其中某个问题转化成与之等价的问题进行处理，（可将m阶方阵的行列式是否为零的问题转化为m阶方阵的秩是否小于m的问题，或转化为齐此线性方程组是否有非零解的问题）。特别地，由1)与8)的等价性，提供了n个n维向
3、量是否线性相关的判别方法归结为由这n个n维向量所组成的方阵的行列式是否为零的问题。30大纲要求向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质考试内容与要求1 理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。2 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。3 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无
4、关组及秩。4 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。5 了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。6 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。7 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。8 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。基本内容一、向量的线性关系1.线性组合定义 若，则称可由线性表示，或称是向量组的线性组合.注意: 零向量是任意向量组的线性组合.定理 可由线性表示 非齐次方程组 有解2.线性相关性定义 设是m个n维向量，若有不全为零的数使 则称线性相关，否则称线性无关.注意：（1）无论线性相关，还是线性无
5、关，当时，都有 （2）线性相关当且仅当除去全为零的以外，还有一组不全为零的使 （3）而线性无关当且仅当时 （4）充要条件是只要不全为0，则性质与判别法(1)线性相关齐次组有非零解.中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.(2) 线性无关齐次组只有非零解.中任一向量都不能由其余个向量线性表示.(3)只有一个向量组成的向量组， 向量组线性相关; 向量组线性无关.(4) 两个向量组成的向量组，其中， 线性相关(5)若向量组中含有零向量，则向量组必线性相关.(6)若向量组线性无关，则该向量组的部分组必线性无关； 若向量组部分组线性相关，则向量组线性相关.(7)设是s维向量 是t维向量则，是维向量,若线
6、性无关，则线性无关;若线性相关，则线性相关.(8)若向量组中向量的个数向量的维数，则向量组线性相关.(9) n个n维向量线性无(相)关矩阵的 (10)正交的非零向量组，必线性无关.3.线性表示与线性相关性的关系(1)若线性无关，线性相关，则可由线性表示，而且表法唯一.(2)设()，()，若，且()可由()线性表示，则向量组()线性相关(3) 若()线性无关，且向量组()可线性表出()，则 .二、极大无关组与向量组的秩1.向量组的等价定义 若向量组()和向量组()可以相互线性表示，则称向量组()和()等价.性质(1) 向量组等价具有反身性、对称性、传递性.(2)两个等价的线性无关的向量组所含向量
7、的个数相同.2.极大无关组定义 在向量组中若存在r个向量线性无关，且向量组中任意个向量都线性相关，则称为向量组的极大无关组.性质(1)向量组中任一向量都可由极大线性无关组表出.(2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组.(3)线性无关的向量组的极大无关组就是向量组本身.(4)向量组和它的极大无关组等价.(5)向量组的任意两个极大无关组等价.(6)向量组的任意两个极大无关组的向量个数相同.(7)两个等价的向量组的极大无关组必等价.3.向量组的秩向量组的极大无关组中向量个数性质(1)等价的向量组的秩相等(2) 向量组线性无关 向量组线性相关 (3)设向量组() 向量组()若()可由()线性表出，则
8、(4)若向量组的秩为，则向量组中任意个线性无关的向量都是极大无关组.4. 向量组的秩和矩阵的秩的关系(1) 矩阵的秩矩阵行(列) 向量组的秩.(2)对矩阵 的行向量线性无关 的行向量线性相关 的列向量线性无关 的列向量线性相关5.极大无关组的求法定理 初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系.证 设A的列向量为线性相关（无关）有非零解（只有零解）而初等行变换，把方程组变为同解方程组，并且对列向量组的部分组也有同样的结论.求极大无关组步骤(1) 把向量组写成矩阵的列向量组；(2) 对矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵；(3) 设行阶梯形矩阵的非零行的行数为，则任取非零阶子式，其对应的原来的列向量就
9、是极大无关组，通常取行首非零元所在的列向量做为极大无关组.三向量空间（仅数学一要求）1.向量空间：对加法和数乘封闭的非空集合.例：是向量空间.2.子空间：向量空间中对加法和数乘封闭的非空子集.3.基底：若是向量空间S中的一个线性无关组，且S中任一向量均可由线性表示，则称为向量空间的一个基底.4.维数：向量空间基底中所含向量的个数.5.坐标：设是的一个基底，若，存在唯一的一组数使则称为向量在基下的坐标.6若与 是中的两组基，则 称为基变换公式，其中可逆矩阵P称为由基到基的过渡矩阵.若向量在基()和()下的坐标分别为则或称为坐标变换公式.7.内积： 若，则称与是正交的.的长度为8.施密特正交规范化
10、方法9.规范正交基：若是的一组基，且满足，则称为规范正交基.若，则是正交矩阵.典型例题一 线性相关，线性无关的定义，性质及判别（注意：线性相关，线性无关的内容是非常丰富的，此部分内容有时与方程组的内容联系，有时与矩阵的秩联系，有时与行列式相结合形成综合类型题）3.1 设均为维向量，那么，下列结论正确的是 . (A) 若，则线性相关 (B) 若对任意一组不全为零的数，都有，则线性无关(C) 若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都有(D) 若，则线性无关.(923)3.2 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 (973)(A)(B)(C)(D)3.3 设有任意两个n维向量组和，若存在两
11、组不全为零的数和使 则 (A) 和都线性相关(B) 和都线性无关(C)线性无关(D)线性相关.(964)解 由题意知，和是两组不全为零的数，将已知等式整理得 由向量组的线性相关性定义知线性相关.故(D)为正确选项.3.4 设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组有解向量，且，证明：向量组是线性无关的.(981)解 设有常数,使得 则有从而有.由于，所以 类似可证得 ,因此向量组是线性无关的.3.5 设A是矩阵，B是矩阵，E是n阶单位矩阵，已知，试判断A的列向量组是否线性相关？为什么？(934)解1 设，其中为m维列向量，设存在数，使得 即 或这时，由于，故将上式左乘矩阵B后，可得即因此矩阵
12、A的列向量组线性无关.解2 利用矩阵的秩因为（B的列数），又，所以，所以B的列向量组线性无关.3.6 已知向量组线性无关，设，试讨论向量组的线性相关性.(883)解 设是一数组，满足条件 那么，有由于线性无关，故有 此方程组的系数行列式为s阶行列式： （*）（按第一行展开） 若s为奇数，则，故方程组（*）只有零解，即必全为0.这时，向量组线性无关. 若s为偶数，则，故方程组（*）有非零解，即存在不全为0的数组，使 .这时，向量组线性相关.3.7 设A是矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是 .(A) A的列向量线性无关(B) A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D) A的行向量线性相关.(922)解 由解的判定定理知，仅有零解秩，即A的n个列向量线性无关，
