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1、仿射变换一不变:作者: 日期：第2章仿射变换2. 2仿射不变性与不变量经过平行射影不改变的性质和数量，称为仿射不变性质和仿射不变量经过仿射 对应它们也是不变的.由前面所述,可知同素性、结合性都是仿射不变性质.因此,仿射对 应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点.此外我们还可以证明如下的一些不变性质和不变量.定理2.1二直线间的平行性是仿射不变性质.证明 设a与b是平面内的两条平行线，a与b是它们在平面兀内的仿射对应下的象. 下面证明a与b平行.若a与b不平行，交于P点，那P有原象点P, P在a 上,又在 b上，于是a与b相交于P，即a与b不平行矛盾，于是a与b平行.a b图2-4由上
2、面的结果可知 推论2.2平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形.思考题：正方形在仿射对应下的象是不是正方形？AC定义2.1设A,B,C是直线上三点（见图2-5），有向线段的比，称为这三点的简比BC（或单比），记为（ABC）,即(ABC)=AC图25显然:当C在a,B之间时，（ABC） 0,当 C 二 A 时，（ABC） = 0,当 C = B 时，（ABC） = g .定理2. 3 共线三点的简比是仿射不变量.证明 首先注意到，简比在平行射影下是不变的，（见图26）.由初等几何这是显然的.因此，经过有限次平行射影变换也是不变的，即它是仿射不变量定理2. 4 两条平行线段的比是仿射不变量.证明
3、设AB与CD是两条平行的线段见图2-7,BD D过AB上取E，使BDCE是平行四边形，它们在仿射对应下的象是A B C D与E./ E / C由上面推论2.2可知，BDCE是平行四边形，A CE/A B平 行 与 CD ， 由 于 简 比 是 仿 射AABABCD EB=(AEB) = (A E B)=A BEBA BCD图2-7不变量，因此定理证毕.定理2. 5直线上两条线段的比是仿射不变量.证明留做作业.注:一般地，任意两直线段之比，不是仿射不变量F面证明:平面上两个图形的面积之比是仿射不变量先证明一个引理.引理2. 6在平行射影下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数.证明 设A与
4、A, B与B是两对平行射影对应点，如图2-8,图2-8图2-9从而AA平行于BB，从这些点到对应轴作垂线AA ,AA ,BB ,BB ，若AB和 0 0 0 0AB平行与对应轴g，结论是明显的.设AB与AB交g于P.则AA AP A A A P0 =,=BB BP B B B P 0 0AP _ A P于是AAA A0-BB00B B 0从而有AABB,0 4 k （常数）B B 0A A 0这个比例常数k由平行射影确定.定理2.7 在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数.换句话讲，任意两个 三角形面积之比是仿射不变量.证明先对平行射影证明，然后推广到仿射对应.若对应三角形ABC与A
5、B C有两对对应点，A与AB与B重合在对应轴g 上,由第三对对应点C与C，作g的垂线CC , C C 见图2-9.则0 0AA B C C C =AABCCC 0这里AABC表示了三角形的面积，由引理2.6知道,上式右边是一个常数k，所以AAB C = kAABC .一般情况.如图2 10所示，AABC与平行射影对应的AAB C中，三对对应边相交于对应轴g上于三点X, Y, Z .图 2-1 0C由上一步的证明/AABC = AC YX + ABXZ - AYZ,二 kACYX + kABXZ - kAAYZ,=kAABC.当AABC与AAB C有一对对边平行，且与g没有交点时，结论显然还是成
6、立的.上面对 平行射影证明了定理2.7,下面就一般的仿射对应证明定理2. 7.设兀上三角形A经平行射影T变到兀上三角形A ,A经兀到兀的平行射影11122223变到兀上A，以此类推，兀 上A 经过兀 到兀的平行射影T 变到兀上三角形33n1n1n1nn1nA .由上面证明，每一次投影，有一个面积比较常数k ,k，,k ,，于是n1 2n 1A = k A , A = k A ,., A = k A21 1 32 2nn1 n1所以A = k - k -. - k - A .n1 2n1 1若是兀上另一个三角形，经过T , T ,., T 变成兀上三角形b ,且111 2n 1nnb 二 k k .k b ,故有n12 n 11A An = 1b bn1证毕.推论2.8任何两个多边形的面积之比是仿射不变量，因此任意两个图形的面积之比是 仿射不变量。练习2-21、证明三角形的重心有仿射不变性.2、证明：平行四边形的中心有仿射不变性.3、证明:梯形在仿射对应下仍为梯形.4、证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量.5、已知平面上的一条定直线l, p为平面上的任意一点/ p点的对应点p是点p关于直线/的对称点，这种变换称为反射变换，定直线叫做它的轴.试证明:反射变换是仿射变换.
