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1、14 1.2 Schrodinger方程 1.2 Schrodinger方程一、Schrodinger方程二、概率守恒三、不含时Schrodinger方程四、定态一、 Schrodinger方程1. 量子力学方程应满足的条件a. 方程中要含有对t的导数.b.态叠加原理要求：及对时空的导数应为线性.c.方程中不能含有描写确定状态的参量，否则方程不具有普遍意义.2.方程的建立a.自由粒子的Schrdinger方程自由粒子的波函数：该波函数对时间的导数：该波函数对空间的导数为：同理，整理有：即对于自由粒子能量和动量之间的关系为：综合以上三式有： -自由粒子的Schrdinger方程b.一般力场的Sc
2、hrdinger方程由（1）（2）两式可以看出，粒子能量和动量作用在波函数上和下列算符相当：我们一般写为：那么，对于自由粒子，两边都乘上波函数用算符表示为类比，对于一般力场其中代表粒子所受到的势能函数，今后如不特别说明，势能函数总为实数，即这样，E. Schrodinger在1926年建立了非相对论粒子的波函数随时间演化的方程在理论力学中，系统的哈密顿量，如果令则Schrodinger方程可表示为其中代表粒子的Hamilton量。 由此可见，从自由粒子的复数形式出发，得到了Schrdinger方程在经典力学中，力是改变粒子状态的动力学原因。而在量子力学中用势能表示相互作用，波函数随时间的演化由
3、Hamilton量决定。看来，与动量和角动量相比能量所起的作用更为重要。几点说明：a. 粒子的质量，对于静质量为零的粒子，这个方程不能处理。b.对于由多个粒子组成的体系，所以多粒子体系的Schrdinger方程为：c.这个方程既含有时间有含有空间，是时空结合的一个方程。d.知道tt0时刻的波函数 ，由薛定谔方程可以求出t时刻的波函数 。二、 概率守恒对于非相对论粒子体系，在状态随时间变化的过程中不发生粒子的产生和湮灭，粒子数守恒。就一个粒子而言，在整个空间发现这个粒子的概率恒等于1. 因此，满足Schrodinger方程的波函数，必蕴涵概率守恒的性质。 Schrodinger方程和它的复共轭分
4、别为 （1） （2）这里用到了。由得由矢量运算法则可知，则上式可整理成由此得到概率连续性方程概率密度： 概率流密度矢量：矢量的方向代表概率流动的方向，大小等于单位时间流过垂直于概率流动方向的单位面积的概率。概率连续性方程是概率守恒的微分形式。例对以动量p沿着x轴运动的粒子，按照de Broglie假设可用下面的平面波函数来描写：则可算出该粒子运动的概率流密度矢量为：由此可见，的含义为概率流密度矢量。这可和经典物理中的电流密度矢量进行类比。概率连续性方程两边乘上粒子的电荷，就是表示电荷守恒的电流连续性方程电荷密度: , 其中 为粒子的电荷。电流密度矢量: 在以封闭曲面为边界的体积内，对概率连续性
5、方程的两边作积分并应用高斯定理令，由于平方可积性，波函数在无限远边界面上趋于零从而趋于零，所以即得概率守恒的积分形式常数上式表明，如果初始时刻波函数已归一化，那么任意时刻波函数也将保持归一化不变，波函数的归一化条件不随时间变化。三、不含时Schrodinger方程1不含时Schrodinger方程若势能不显含时间即，则Schrodinger方程可分离变量求解。令代入Schrodinger方程分离变量得 其中是分离变量时出现的待定常数。时间因子代表简谐振动上式指数中的代表角频率，因此常数具有能量的量纲。 空间因子满足的方程称为不含时Schrodinger方程也称为定态Schrodinger方程。
6、数学上，不论E为何值方程都有解（通解）。 但是物理上只有当E取某些特定值时方程的解才可能满足波函数的单值、有限和连续的条件，这些解才有物理意义（特解）。这些特定的E值称为能量本征值 能量算符的本征值，代表能量; 与本征值相应的本征波函数。不显含时间的称为能量算符，所以上式又称为能量算符的本征方程。2力学量算符的本征方程a内积（inner product） 如态矢量可以表示成坐标的函数，则态矢量和的内积定义为内积是态矢空间中两个态矢量的“点乘”，是一个复数。而坐标空间的两个矢量的点乘是一个实数。 内积满足以下运算规则： （1） 归一化： （2） 内积不对称： 若 ，则称 和正交。 （3） （4）
7、其中（4）可由（2）和（3）得到。上面是用积分来定义内积的。实际上内积不限于积分一种形式，凡是满足规则（1）（3）的运算，都可以构成内积。【思考】验证用积分定义的内积 满足运算规则（1）（3）。b力学量算符的本征方程、本征值以及本征函数一般地说，力学量算符的本征方程是指下述类型方程待定常数 算符的本征值；波函数 属于本征值的本征波函数；集合 本征值谱；集合 本征函数系。力学量在态中的平均值为如果波函数为归一化的，则可用内积表示为： 和 按平均值假定，力学量在它的一个本征态上的平均值力学量算符的本征态是该力学量取确定值的态。在的本征态上测量，每次测得的结果一定总是本征值关于本征值问题，将在3.2
8、作较深入的讨论。【例】平面波 是动量算符的属于本征值的本征波函数。这是因为动量的本征值构成连续谱：【例】验证平面波 和都是自由粒子能量算符的属于能量本征值的本征波函数。这是因为如果对应算符的一个本征值有两个或两个以上的独立的本征波函数，则称这个本征值对本征函数是简并的。一个本征值对应的独立的本征波函数的个数称为简并度。上面看到，自由粒子的能量本征值是二度简并的。四、定态1定态用能量算符的一个本征值波函数和相应的时间因子，可以构造出Schrodinger方程的一个特解这种形式的特解称为Schrodinger方程的定态解或定态（Stationary state）。定态是体系能量取确定值的态。 设能
9、量本征值取分立值（分立谱），定态解可以表示为因为定态随时间只是作简谐振动，所有有时只写空间因子。例如平面波是自由粒子Schrodinger方程的定态解常只写空间因子2按定态展开因为Schrodinger方程是线性齐次的，所以它的通解可以表示成按定态展开的形式展开系数由初始状态确定上式将在 3.2中证明。如果能量本征值取连续值则展开式成为积分展开系数【例】设一维自由粒子在时刻的状态为求时刻粒子的状态解. 按定态展开其中，通常写成对动量积分的形式式中对于本题所以时刻粒子的状态为仍为能量等于的定态。这显然是对的，时粒子处于定态，那么的任一时刻仍然处于该定态。3定态的性质 除了能量取确定值外，定态还具有下列特征（1）处于定态的粒子，在空间出现的概率密度和概率流密度矢量都不随时间变化。设定态波函数为概率密度为概率流密度矢量为它们都与时间无关。（2）在定态上，任何不显含时间的力学量的平均值都不随时间变化。 设 ，定态为，则在定态上的平均值与时间无关。注意，在上述证明中并不要求一定能够表达力学量，只要不显含时间就可以了。（3）在定态上，任何不显含时间的力学量的测量值的概率分布都不随时间变化。（详见第四章）
