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1、 余弦定理教学设计（热门3篇） 射阳县教育局教研室 王克亮 教学目标:(1)把握余弦定理,并能解决一些简洁的度量问题. (2)初步运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. (3)经受余弦定理的发觉与验证过程,增加学生的理性思维力量. 教学重点:余弦定理的发觉与运用. 教学难点:余弦定理的证明. 课前预备:(1)自制一个如下图的道具. (2)课前,教者在黑板上画好如下图的三个三角形. 固定联结点 A 塑料棒1 细绳 可动联结点 可转动点 塑料棒2 道具 b B B B A 教学过程: 一、情境创设 提出问题 1情境引入 师:首先请看两个实际问题: 情境1 A,B两地之间隔着一座小山,
2、现要测量A、B之间马上修建的一条直的隧道的长度.另选一个点C,可以测得的数据有:AC?182m,BC?126m,?ACB?630,如何求A、B两地之间隧道的长度(准确到1m). A B B D C E A 情境2 一位工人欲做一个三角形的支架.已知杆BC的长度为6分米,DAE是由一根直的钢管沿着点A弯折而成.若弯折点A与焊接点B,C的距离分别为4分米和5分米,欲弯折后杆BC恰好能与两焊接点相接,则弯折后BAC的大小是多少(准确到0.1度)? 2提出问题 师:明显,这两个都是解三角形的问题.其中,情境1的实质是知道了三角形的两边与其夹角,求第三边的长度；而情境2的实质就是已知三角形的三条边,要求
3、其一个内角的大小. 请问:(1)这两个问题能用正弦定理来解决吗? 生:不能. (2)那么,这两个问题之间有联系吗? 生:互逆. 师:对,在解法上是互逆的,所以本节课我们将要探究的核心问题是:在已知三角形两条边的前提下,其夹角的大小与第三条边的长度之间有着怎样的关系?这正是余弦定理所提醒的规律-引入课题. 二、问题探究 学问建构 问题1 在?ABC中,已知CB?a,CA?b(其中a?b),当?C从小到大变化时,AB的长度的变化趋势如何? 师:(学生思索了一会儿后)我们可以用一个简洁的试验看一下. (课上,利用课前制作道具做一下演示试验.) 生: AB的长度随着?C的增大而增大. 师:这是一个定性
4、的结论.那么对于定量的讨论,一个常用的思维策略是特别化. 取C=90?是最简单想到的；另外,虽然角C不能取0?与180?,但它可以无限接近这两个角,所以不妨再考察一下这两种情形. 续问: 若将?C的范围扩大到00,1800,特殊地:当?C?00,?C?900,?C?1800这三种特别情形时,AB的长度分别是多少? 生:当?C?00时,AB?a?b；当?C?900时 ,AB?；当?C?1800 时,AB?a?b. 师:我们不妨把这三个结论在形式上写得更接近些,即 : 当?C?00时,AB?当?C?900时,AB?当?C?1800时,AB?B A 问题2 请你依据上述三个特例的结果,试猜测:当?C
5、?(00?1800)时,线段AB的长度是多少? (在学生独立思索的根底上,小组争论沟通后请学生答复) 生 :AB?问题3 你能验证该猜测吗?请试一试. (课上,利用课前画好的三张图进展争论.先让学生独立思索一会儿,然后依据学生答复的状况进展讲解,至少争论以下前两种方法.) 方法一: 证: (1)当?C?为锐角时,过点A作AD?BC于D. 则AB2?BD2?AD2?(a?bcos?)2?(bsin?)2=a2?b2?2abcos?. D B A (2)当?C?为直角时,结论明显成立. (3)当?C?为钝角时, 过点A作AD?BC交BC的延长线于D. 则AB?BD?AD?(a?bcos(?)?(b
6、sin(?) ?(a?bcos?)?(bsin?)=a?b?2abcos?. D 2 2 2 2 2 2 2 A b 22 C a B 综上所述, 均有AB?故猜测成立. 师:这种思路是构造直角三角形,利用勾股定理来计算AB的长,但要留意这里要分三种状况争论. 方法二: ?2?2 证:由于AB?AC?CB,所以AB?(AC?CB) ?2?2? ?AC?CB?2AC?CB?a2?b2?2abcos(?)?a2?b2?2abcos?, B A 即AB?故猜测成立. 师:这种方法的思路是构造向量,借助向量的运算来证题.将向量等式转化数量等式常用的手段是作数量积. 方法三: 证:以C为坐标原点,CB所
7、在直线为x轴,建立平面直角坐标系. ? 则B(a,0),A(bcos?,bsin?),则BA?(bcos?a,bsin?),所以 ?2 |AB|?(bcos?a)2?(bsin?0)2=a2?b2?2abcos?, ? 即AB?|AB|?故猜测成立. 师:这种思路是建立平面直角坐标系,借助于坐标运算来证题.利用坐标法的优点在于不必分类争论了且运算简洁. 固然,我们还可以从其它途径来验证这一猜测,这里就不再争论了,有兴趣的同学课后我们可以作些沟通. 问题4 在三角形中,如何用符号语言与文字语言表示出上述结论? (提示:根式的表示形式不如平方的形式来得美观.) c2?a2?b2?2abcosC,
8、生:符号语言:在ABC中,有a2?b2?c2?2bccosA, b2?a2?c2?2accosB. 文字语言:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 师:很好!这一结论我们称之为余弦定理,上述三个公式是余弦定理的一种表现形式. 问题5 如何依据三角形三条边的长度来求其内角的大小呢? a2?b2?c2b2?c2?a2a2?c2?b2 生:将上述结论变形为: cosC?,cosA?,cosB?. 2ab2bc2ac 师:这是余弦定理的另一种表现形式.对于余弦定理的这两种形式,我们在解题中应当敏捷地加以选用. 感悟:(1)在第一组式子中,当C=90时,即有c2
9、?a2?b2.所以,勾股定理是余弦定理 的特别情形,余弦定理可以看做是勾股定理的推广. (2)在其次组式子中,我们考察式子左右两边的符号,不难发觉: 在ABC中,C为锐角?a2?b2?c2;C为直角?a2?b2?c2;C为钝角?a2?b2?c2. 师:也就是说,在三角形中,要推断一个内角是什么角,只要看它的对边的平方与其它两边平方的和的.大小. 三、数学应用 深化理解 例1 在ABC中,已知b=3,c=1,A=60,求a. 解析:由余弦定理,得a2?b2?c2?2bccosA?32?12?2?3?1?cos600?7, 所以a?问:在此条件下,其它元素可求吗? 反思:(1)利用余弦定理,可以解
10、决“已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角”的问题. (2)用余弦定理求边的长度时,切记最终的结果要开平方. 师: 情境1就是这种类型的问题,我们也不妨看一下解答. 情境1:A,B两地之间隔着一座小山,现要测量A、B之间马上修建的一条隧道的长度.另选一个点C,可以测得的数据有:AC=182m,BC=126m,ACB=63,如何求A,B两地之间隧道的长度(准确到1m). 解析: 在?ABC中,由于AC?182m,BC?126m,?ACB?630,则由余弦定理,得 AB2?AC2?BC2?2AC?BCcos?ACB?1822?1262?2?182?126cos630 ?1822?1262?2?
11、182?126?0.454?28177.15, 所以AB?168m. 答:A，B两地之间隧道的长度约为168m. 例2 在?ABC中,已知a=7,b=5,c=3,求A. b2?c2?a252?32?721 解析:由余弦定理,得cosA?, 2bc2?5?32 所以A=120. 问:在此条件下,其它两个角可求吗? 众生:可求. 反思: (1)利用余弦定理,可以解决“已知三边,求三个角”的问题. 师:情境2就是这种类型的问题,我们不妨看一下解答. 情境2: 一位工人欲做一个三角形的支架.已知杆BC的长度为6分米,DAE是由一根直的钢管沿着点A弯折而成.若弯折点A与焊接点B,C的距离分别为4分米和5
12、分米,欲弯折后杆BC恰好能与两焊接点相接,则弯折后BAC的大小是多少(准确到0.1度)? 解析:在?ABC中,由于c?4,b?5,a?6,则由余弦定理,得 b2?c2?a252?42?62 cosA?0.125,所以A?82.80； 2bc2?5?4 A E 答:弯折后,?BAC?82.80. D 反思:(2)利用余弦定理解决实际问题,解题的关键是建立出相应的三角形的模型.同时,要留意最终结果的准确度的要求. 变式:(1)在ABC中,已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小. a2?b2?c2?ab11222222 ?,即cosC?, 解析:由a+b+ab=c,得a?b?c?ab,则 2ab2
13、ab22 所以C?1200. 反思:(3)在解三角形时,由边的条件式求角时,别忘了余弦定理；同时要注意余弦定理的逆用. 变式:(2)若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段( ). A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形 解析:首先由于两条小边之和大于第三边,所以能够组成三角形；接着,只要看最大的角是什么角.由于52?62?72,所以最大角为锐角,故这三条线段能组成锐角三角形. 思索:(1)若用长为5,6,x的三条线段构成的三角形是钝角三角形,则正数x的取值范围 是_. (2)在?ABC中,已知a +c =2b,求证:B45. ?x?6?x?6? 解析:(1)由?x?5?6或?5?x?6, ?x?11或1?x?x2?52?62?62?x2?52?
