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1、2011年万学海文高等数学春季基础班考研辅导讲义 主讲 铁军 教授 铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这
2、是我们的信心，也将是您的信心！ 第六章 多元函数微积分学（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。第一节 多元函数微分学 多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的
3、概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。 数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小
4、值应用问题。【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点(x,y)以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。定义2 如果连续。如果在区域D上每一点都连续，则称在区域D上连续。定理1 最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。定理2 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，可以取到它在D上的最小值与最大值之间的任何值。定义3 偏导数的定义 设函数的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称此极
5、限为函数处对x的偏导数，记作即 .类似地，函数的偏导数定义为 .定义4 如果二元函数z=f(x,y)在区域D的每一点(x,y)处都有偏导数，一般地说，它们仍是x,y的函数，称为f(x,y)的偏导函数，简称偏导数，记为定义5 高阶偏导数 如果二元函数 仍然具有偏导数，则它们的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数，记作 其中称为混合偏导数，类似地可以定义三阶、四阶以及n阶偏导数。定理3 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数都在区域D内连续，则在D内，即二阶混合偏导数与求偏导的先后次序无关。定义6 全微分 设二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，当f(x,y)的全增量可以
6、表示为，其中A，B不依赖于，而仅与x,y有关，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，称为函数f(x,y)在点（x,y）处的全微分，记作定理4 若函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则必在(x,y)处连续。定理5 可微的必要条件 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则该函数在点(x,y)处的两个偏导数都存在，且。又对于自变量x,y有定理6 可微的充分条件 如果函数z=f(x,y)的偏导数 连续，则函数在该点可微。偏导数的几何意义：设有二元函数在几何上分别表示曲线的切线对x轴和对y轴的斜率。【考点一】（1）求二元函数的极限值时，一般应用两边夹定理或化为一元函数的极限进行求解
7、。 （2）当点沿着不同的路径趋于点时，若函数的极限值不同，则二重极限 不存在。【例1】求下列二重极限：（1） （2）（3）【考点二】多元函数连续、偏导数存在与可微之间的关系： 可微偏导数存在，但偏导数存在. 可微连续，但连续，连续偏导数存在。若一阶偏导数连续，则可微。【例2】考虑二元函数的下面4条性质：的两个偏导数存在。若用“”表示可由性质P推出性质，则有（ ）（A） （B）（C） （D）【例3】二元函数存在，是在该点连续的（ ）（A）充分条件而非必要条件。（B）必要条件而非充分条件。（C）充分必要条件。（D）既非充分条件又非必要条件。二、多元函数微分法 复合函数求导法则1若处偏导数存在，函数
8、z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数处偏导数存在，且 2设有连续偏导数，都可导，则，这里称为z对t的全导数。3设有连续偏导数，偏导数存在，则 .【考点三】1. 求偏导数时，只需将中的非视为常数，利用一元函数的求导公式和导数的运算法则即可，类似地可求出表示先对求偏导，然后再对求偏导，其余类推。 2求复合函数的偏导数时，主要把握三点：（1） 关键问题是弄清复合函数的结构，分清中间变量与自变量。（2）避免丢项。一般地，函数有几个自变量就求几个偏导数；函数有几个中间变量，偏导数公式中就有几项的和；函数有几重复合，偏导数公式中就有几项因子的乘积。（3） 对于求抽象函数的偏导数。首
9、先必须设出中间变量，构成复合函数，再利用复合函数求偏导数。【例4】设，其中具有二阶连续偏导数，具有二阶连续导数，求。【例5】设f(u)具有二阶连续导数，且，求【例6】设，求.【考点四】隐函数的求导公式1设函数的某邻域内具有连续的偏导数，且，则方程在点的某邻域内恒能惟一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，并有 .2由方程组确定的隐函数的导数设方程组，上式两边分别对x求偏导，注意到u和v是x及y的函数，有当时，从上式中可解出。同理，原方程两端对y求偏导，可求出【评注】计算由方程组所确定的隐函数的偏导数应该使用直接法，其关键是事先要明确哪些变量是自变量，哪些变量是因变量，这应根据具体问题来判定。
10、例如求，可判定是因变量，一般地，在一定条件下，对于有个方程、个自变量的方程组来说，有个因变量，有-个自变量。然后依次对所给方程的两端关于求偏导，得到一个线性方程组，再解出所求（偏）导数即可。【例7】设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 【例8】设，其中是由方
11、程确定的隐函数，则.【例9】设函数，方程确定是的函数，其中可微；连续，且，求。【考点五】计算全微分的方法：（1） 先求和，然后代入公式：。（2） 对已知函数或方程取微分，根据微分形式的不变性，直到计算出和上为止，再解出即可。【例10】设，求与 .二、多元函数的极值与最值 定义1 设函数在点的某实心邻域内有定义，若对该邻域内异于的任意点，总有 （或）成立，则称是函数在点处取得的极大值（或极小值），并取点为的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值；极大值点与极小值点统称为极值点。定义2 方程组的解，称为函数的驻点。定理1（极值存在的必要条件） 设函数在点处的一阶偏导数存在，且为的极值点，
12、则有 .定理2（极值存在的充分条件） 设函数在点处的某实心邻域内有连续的二阶偏导数，且。若，则点是的一个极值点。 （1）若（或），则为极大值； （2）若（或），则 为极大值； （3）若，则不是极值。 【考点六】在函数的定义域D上求极值，这是无条件极值。求多元函数无条件极值的程序是： （1） 求函数的驻点（可能极值点），即求解方程组 的一切实数解（或偏导数不存的点），即得函数的可有极值点。 （2）利用极值存在的充分条件判定所求驻点是否为极值点。（3）求出极值。 【评注】 驻点不一定是极值点。偏导数不存在的点也可能是极值点。【例11】求函数的极值。【例12】证明函数有无穷多个极大值，而没有任何极小
13、值。【考点七】1. 求函数，在约束条件下的极值问题，称为条件极值问题。求解条件极值的一般方法有两种。一是利用所组的约束条件把条件极值问题转化为无条件极值问题；一是拉格朗日乘数法。【拉格朗日乘数法】 其步骤是： （1）作辅助函数（称为拉朗日函数） ，其中为待定常数（称为拉格朗日乘数）；（2）求解方程组 得可能极值点；（3） 判定在可能极值点处是否取得极值。（对于实际应用问题，由实际确定，一般免去了这一步骤）。2二元函数的最大值与最小值：有界闭区域上连续的二元函数在区域内的驻点、偏导数不存在的点及其边界点上取得最大值与最小值。【例13】求函数在条件及下的极值。【例14】求二元函数在由直线、轴和轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值。第二节 二重积分【大纲内容与要求】理解二重积分的概念、几何意义与基本性质，了解二重积分的中值定理，掌握在直角坐标系下与极坐标系下二重积分的计算。会计算简单的无界区域上的二重积分。【考点分析】本节考点的核心是二重积分的计算，要熟练掌握。二重积分计算的关键是化二重积分为二（累）次积分.【考点八】在直角坐标系下计算二重积分的公式：【型区域】若，则.【型区域】若，则.【例1】计算二重积分其中D是由双曲线及直线所围成的平面区域。【例2】设连续，且，
