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1、“一个正方形剪去一个角还剩几个角”的变迁与知识进化柏林二小 李昌健很多人都见过“一个正方形剪去一个角还剩几个角？”的问题。上初二时我和哥哥及其他人讨论过这个题时，得出的结论是还剩4、5个角两种方案，当时根本没有沿桌子的对角线还可以锯。当时的题目是“一个桌子锯去一个角还剩几个角？”由于时代的局限性，人的思维只知道沿直线“锯”，后来“锯”变成了“截”，“截”还是诱导人们的思维沿直线动作，有结论是还剩3、4、5个角三种方案（图1）。前几年，在教参上见到了这个题答案是还剩1、2、3、4、5个角等5种方案。题目是“一个正方形剪去一个角还剩几个角？”其中的关键字“桌子”变成了“正方形”，“锯”和“截”变成
2、了“剪”，这一变，让人们很容易拓展开来，除了沿直线剪外，还可以沿曲线去剪当然出现了还剩1、2、3、4、5个角等5种方案。如图1、图2所示。 剩3个角 剩4个角 剩5个角图1 沿直线剪（锯、截）正方形的一个角 剩3个角 剩4个角图2 沿曲线剪正方形的一个角几天前在研修网上见到了甘肃省于全忠老师的第三个思维方式沿折线剪，这一剪是个质的飞跃，把人的思维引向了无限广阔的空间。如果在一个角的某个位置折剪2次可以得到6个角，折剪3次可以得到7个角，折剪4次可以得到9个角，如此推衍下去，折剪n-4次可以得到n个角，从微分角度看可以剪出无限多个角。如图3所示。 剩6个角 剩7个角 剩8个角 剩9个角 剩n个角图2 沿折线剪去正方形的一个角事物是发展的，社会是发展的，思维也在不断地变化，数学随着事物的变化而发展变化，新的东西也在不断地被发现，知识不断地被推陈出新。“一个正方形剪去一个角还剩几个角”的直线剪法，发展到曲线剪法，进而到折线剪法的三种剪法的发展，却让剩角的个数从1个、2个、3个增至无穷个，其中第三种剪法沿折线方向剪是具划时代意义的。从简单的“一个正方形剪去一个角还剩几个角”的问题演变历程变迁旅程，让我领悟到知识升华和渐变包含着很深的哲理，有渐变才有升华，只有升华了，才让事物的质的飞跃。万事同理同论，教育教学的变革也是同理同论。
