圆周角和圆心角的关系

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1、第三章 圆圆周角和圆心角的关系（第 1 课时）教学设计说明一、学生起点分析学生的知识技能基础： 学生在本章的第二节课中， 通过探索， 已经学习了同 圆或等圆中弧、 弦和圆心角的关系， 并对定理进行了严密的证明， 通过一系列简 单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力 .学生活动经验基础：在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想 - 验证”、 分类讨论的数学方法，获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经 验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程， 具有了一定的合作学习的能力， 具备了一定的合作和交流的能力 .二、教学任务分析本节共分 2 个课时，这是第 1 课时，

2、主要内容是圆周角的定义以及探究圆周 角定理，并利用定理解决一些简单问题 . 具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能1理解圆周角定义，掌握圆周角定理 .2会熟练运用定理解决问题 .过程与方法1培养学生观察、分析及理解问题的能力 .2在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正 确学习方式 .情感态度与价值观： 培养学生的探索精神和解决问题的能力 .教学重点： 圆周角定理及其应用 .教学难点： 圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透 .三、教学设计分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾一一探究新知1 定义的应用 探究新知2方法小结一一定理的应用一一课堂小结(作业布置)A第

3、一环节知识回顾活动内容：1. 圆心角的定义？一一顶点在圆心的角叫圆心角2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系 ？ 如图：/ AOB 弧AB的度数3. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧 和圆心角的关系练习1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；练习 2 和练习3是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、条弦皿 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 活动的注意事项：题目以复习概念和定理为主，特别是定理当中的前提条件“同圆或等圆”，需要

4、再特别向学生强调一遍，同时要学生明白何为三组量中其 中一组量相等，那么其余各组量也分别相等.第二环节探究新知1活动内容:(1)问题：我们已经知道,顶点在圆心的角叫圆心角,那当角顶点发生变化时，我们得到几种情况BC顶点在圆心C点A在圆内OBAO圆周角C点A在圆上AOBC点A在圆外圆心角类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有个交点的角叫做圆周角.活动目的：本环节的设置，需要学生类比圆心角的定义，采用分类讨论和类 比的思想方法得出圆周角的定义活动的注意事项：问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况，其实是点和圆的位置关系知识点的应用， 老师在此应注意知识之间的联系，达到

5、触类旁通的目的.c第三环节定义的应用活动内容：（1）练习、如图，指出图中的圆心角和圆周角解：圆心角有/ AOB、/ AOC、/ BOC圆周角有/ BAC、/ ABC、/ ACB活动目的：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角的定理做铺垫，有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角， 并 掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角， 这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的活动的注意事项：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后， 则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法 寻找圆心角关注的是半径，任 意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径

6、的条数决定寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角， 数圆周角关键 是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦， 每两条弦所夹的即是 一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点 这里要注意，因为半径 AO没有延长，所以/ OAB严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意第四环节探究新知2活动内容：（一）问题提出：当球员在 B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角/ ABC, / ADC, / AEC.这三个角的大小有什

7、么关系？教师提示：类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等BOC在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？D为了解决这个问题，我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关AB（二）做一做：如图，/ AOB=80, （1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？教师提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？三种：圆心在圆周角一 边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外.（2）这些圆周角与圆心角/ AOB的大小有什么关系？ / A0B=2/ ACB（三）议一议：改变圆心角/ A0B的度数，上述结论还成立吗？成立（四）猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角

8、等于它所对的圆心角的一半1符号语言：.ACB AOB2（五）证明定理：已知：如图，/ ACB是SB所对的圆周角，/ AOB是SB所对的圆心角,求证： ACBAOB2分析：1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心（O）在圆周角（/ ACB）的一边（BC）上时,圆周角/ ACB与圆心角/ AOB的大小关系 / AOB是厶ACO的外角/ AOB=Z C + Z A OA=OCZ A=Z C Z AOB=2Z C1即 ACB AOB24 / 9关系会怎样BC系会怎样？ABC在第五环节方法小结活动内容CCCOBAABDB过点C作直径CD.由1可得过点C作直径CD.由1可得渗透在中注意渗透“猜想出探究圆周角定理

9、的方法，再通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系情况逐一加以演绎推理，证明定理分类讨论”思想试验，证明”的探究问题一般步骤环节，得到一般的规律规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种老师提示：能否转化为1的情况?老师提示：能否也转化为1的情况?然后进行一般图形的变换，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本特殊到一般”思想，在（四）A D11ACD - BCD AOD- BOD 即.ACB AOB22活动目的：本活动环节，首先有一个情景引出探究的问题， 然后通过类比得1 1 ACD BCD AOD BOD 即 ACB AOB3.当圆心（O）在圆周角（/ ACB的外部时,圆周角

10、/ ACB与圆心角/ AOB的大小关ACDAOD, BCD 二丄 BOD2 2ACD 二丄.AOD, BCD =丄 BOD2 2活动的注意事项：本环节有不少的数学思想方法，教师在教学中要注意.化2 二 归2.当圆心（O）在圆周角（/ ACB）的内部时，圆周角/ ACB与圆心角/ AOB的大小D思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化活动目的：通过回顾圆周角定理的证明过程， 体会探究过程中的数学思想方 法的运用活动的注意事项：多让学生用自己的语言表述当中用到的方法， 然后教师再 进行深加工.第六环节定理的应用活动内容:问题回顾：当球员在 B,D,E处射门时,他所处的位置对球门 AC分别形成三个张

11、角/ ABC, Z ADC，/ AEC.这三个角的大小有什么关系？连接AO、CO,111； ABC AOC, ADC AOC, AEC AOC,2 2 2 ABC ADC AEC由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等活动目的：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题， 然后推导出另一条圆周角与弧的定理活动的注意事项：这里要注意引导学生学以致用，通过作辅助线添加圆心角, 把问题转化到定理的直接应用上.还要注意引导学生对得出的结论加以总结，从 而得出新的定理.第七环节课堂小结活动内容：（一）这节课主要学习了两个知识点:1. 圆周角定义.2. 圆周角定理及其定理应用（二） 方法上主要学习

12、了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的 思想方法和分类讨论的思想方法.（三）圆周角及圆周角定理的应用极其广泛， 也是中考的一个重要考点，望同 学们灵活运用.活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方 法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是 要学会进行方法的总结.活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的， 都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言 .第八环节：附课后练习答案随堂练习1.如图，在O O中，/ BOC=50,求/ BAC的大小 解：在O O 中，/ BOC=5011 BAC BOC50

13、= 250222.如图，哪个角与/ BAC相等，你还能找到那些相等的角?解：/ BAC=Z BDC/ ADB=Z ACB/ CAD=Z CBD/ ABD=Z ACD习题1. 如图，OA、OB、OC 都是O O 的半径，/ AOB=2 / BOC，Z ACB 与/ BAC 的大小有什么关系，为什么？解：/ ACB = 2/ BAC，理由:1；.1AOB212BOC2又/ AOB=2 / BOC1 1.1 =2 AOB =2 2 B0C=/B0C=2 2 即/ACB = 2Z BACDB2. 如图，A、B、C、D 是O O 上的四点，且/ BCD=100。，求/ BOD 与/BAD 的大小解：/

14、BCD=100优弧所对的圆心角/ BOD=2Z BCD=200劣弧所对的圆心角/ BOD=36O -200 =1601 BAD BOD =8023. 为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性 .答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视 角相等4. 船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B两点的一个圆形 区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，/ ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，/ a与“危险角” 有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即。 O夕卜），与两个灯塔的 夹角/ a小于“危险角”.四、教学设计反思1.根据学生特点灵活应用教案针对编者学校学生的特点，大部分学生能力相对较高，因此课堂的容量会比 较大，而且在教学过程中渗透的思想方法也较多， 如果碰到学习能力不足的学生 群体，则要根据实际情况进行调整， 注意突出渗透分类讨论的思想方法和体会探 索问题的一般步骤即可 .2. 让学生有充分的探索机会，经历猜想，试验，证明的环节 学生往往会直接进行证明， 这对于简单问题可行， 对