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1、因式分解一十字相乘法与分组分解法【学习要求】1. 理解十字相乘法与分组分解法；2. 会运用十字相乘法与分组分解法分解因式。【知识内容】1. 十字相乘法分解因式：（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即(x + a )(x + b)= x 2 + (a + b)x + ab将上式反过来,x 2 + (a + b)x + ab = (x + a )(x + b)得到了因式分解的一种方法一一十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定 上式中的a和b,例如，为了分解因式x2 + px + q，就需要找到满足下列条件的a、b；fa + b = pab = q（2）二次项系
2、数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax2 + bx + c中，当a丰1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2x2 - 7x + 6，首先要把二次项系数2分成1X2,常数项6分成（-2）x（-3），写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1 x（-3）+ 2 x（-2）=-7，正好是一次项系数,从而得2x 2 - 7x + 6(x - 2)(2x - 3)（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解如果是形如2a2b2- 7ab + 6的形式，则把ab看作一个整体，相当于x,如果是形如2x2 - 7xy + 6y
3、2，则先写成2x2 - 7y x + 6y2，把y看作已知数，写成十字相乘的形式 是2 -即所以2x2 - 7xy + 6y2 =(x - 2y)Cx - 3y),即右边十字上都要带上字母y,分解的结 果也是含有两个字母的两个因式的积。2. 分组分解法分解因式：我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式 法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最 后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项 式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公
4、因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多 项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等， 从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一 组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当 地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组 的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分 组的技巧。【典型例题】例1.分解因式:1一一X 23-4x - 21)分析：当系数有分
5、数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。1一一 X 2 +解:3二-1(X - 7)(X + 3)3-7 + 3 = 4例 2.分解因式：x2 + 29xy + 100y2分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。 解.x 2 + 29 xy + 100 y 2=x 2 + 29 y x + 100y 2=(x + 4 y )(x + 25y)例3.分解因式:3x2 11x + 10分析：首项系数为3应分解为1X3,常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且 应与一次项系数-11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：3 x (-1) + 1 x (-10) = -131
6、 x (-5) + 3 x (-2) = -111 -103入-11 x (-1) + 3 x (-10) = -311 Y - 5 3入-21 x (-2) + 3 x (-5) = -17其中符合对角两数之积的和为-11的只有第三个。3x 2 11x + 10 = (x 2)(3x 5)例4.因式分解：x2 + 6x - 7分析：这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其 次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当 的变形后，便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一x 2 + 6x 一 7 = x 2
7、 + 6x + 9 一 9 一 7=(x + 3)2 - 16 =(x + 3 + 4)(x + 3 - 4)=(x + 7)(r - 1)小结：方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为 1（如 果二次项系数不是 1，则提取这个系数，使二次项系数转化为 1）；其关键是，加上紧接 着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次 三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。例 5. 分解因式：(1)2x 2 + 2xy 一 3x 一 3ya 2 - b 2 + 4a - 4b 4x2 - 9y2 - 24yz - 16z2(4) x3
8、x2 x + 1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩 下的是相同因式（x + y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。2x2 + 2xy - 3x - 3y(2x 2 + 2xy)- (3x += (x + y)(2x - 3)= x(2x-3)+ y(2x-3)= (2x - 3)(x + y)说明：解法1 和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（一3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。2）分析：若将此题按上 题中法（ 二）方法分组 将含 有 a
9、 的项分在一组 即a2 + 4a = a（a + 4含有b的项一组即_b2-4b = - b(b + 4)那a（a + 4）与-b(b + 4)再没有公因式可提，不可再分解下去。可先耳钦2 - b2 一组应用平方差公式，再提出因式。解：a 2 - b 2 + 4a 4b- b 2)+=(a + b)(a - b)+ 4(a - b)=(a b)(a + b + 4)（3）若将此题应用（2）题方法分组将4x2 - 9y2 一组应用平方差公式，或者将4x2 - 16z2 一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项 符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平
10、方差公式完成分解。解.4 x 2 - 9 y 2 - 24 yz - 16z 24x2(9y2 + 24yz + 16z2= (2 x)2 - (3y + 4z)2= (2 x + 3y + 4z)(2 x - 3y - 4z)4）分析：此题按照系数比为1 或者为-1，可以有不同的分组方法。法(一)： x 3 - x 2 - x + 1= x2(x -1)-(x -1)= (x - 1)(x2 - 1)= (x - 1)(x + 1)(x - 1)= (x + 1)(x - 1)2=(x + l)(x - l)(x -1)=(x + 1)(x - l)2说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要
11、注意到各项系数间的关系，这样可以启 示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两 项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因 式可提，如例5（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之 间的公因式。如例5 的（2）题、（4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项 和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例5 中的（3）题。ab(c 2 + d 2)+ cd (a 2 + b 2)例 6. 分解因式：分析：多项式带有括号，不便于直接分组，
12、先将括号去掉，整理后再分组分解。解：ab c2 +d2 +cd a2 +b2=abc 2 + abd 2 + a 2 cd + b 2 cd分析：要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式。若分解后的因式中有一个值为零，则原多项式的值为零。经过分组分解，可知为零，则原多项式的值为零。为达此目的，就要从条件入手。证明：因为4x2 + 4xy + y2 - 4x - 2y + 1 = 0，所以(2x + y)2 - 2(2x + y)+ 1 = 0(2x + y -1)2 二 0所以 2x + y 一 1 = 0又因为 2x2 + 3xy + y2 一 x 一 y = (x + y)(2x
13、 + y 一 1)所以 2x2 + 3xy + y2 x y 二 0例8.已知3x2 4xy 一 7y2 + 13x 一 37y + m能分解成两个一次因式的乘积，求m的值。 并将此多项式分解因式。分析：根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个因式必然都是 三项式，而原多项式的前三项可分解为 （3x 一 7y）（x + y），于是可设原多项式分解为 （3x 一 7y + a）（x + y + b），再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。解. 设 3x 2 4xy 7y 2 + 13x 37 y + m=(3x - 7 y)+ a(x + y)+ bl=3x 2 4
14、 xy 7 y 2 + (a + 3b)x + (a 7b)y + aba + 3b = 13 a 7b = 37对应项系数相等，所以ab = m由1x2解得：a = 一2，b = 5将a = 2，b = 5代入,得：m = 10所以3x2 4xy7y2 +13x37y+m= 3x2 4xy 7y2 +13x 37y 10(3x 7 y + a)(x + y +b)= (3x 7 y 2 )(x + y + 5)例9.已知丘-3y - 1 + X2 + 4y2 = 4xy，求x与y的值。分析：在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件 下又是可行的，这“特殊条件”包括
15、非负数的和等于零的性质。本题已有一个明显的非负 数，即k -3y -,而另一个非负数可由因式分解得到。于是问题能够解决。解：因为 3y 1 + x2 + 4y2 = 4xy，所以|x 一 3 y 一 1| + x 2 一 4 xy + 4 y 2 = 0即 lx 3y 1 +（x 2y）2 - 0J x - 3 y -1 = 0所以 tx - 2 y = 0解这个方程组，得：x = 一2，y二一1【模拟试题】（答题时间：40 分钟）一. 选择题。1.用分组分解法分解多项式x2 -mx-nx + mn分组正确的是()C2 一 mx - nx)+ mnC2 一 mx) (nx + mn)A.B.C 2 + mn ) (mx +
