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1、2012年江苏省高中数学奥林匹克夏令营讲座资料初等数论江苏省扬州中学 侯绪兵 一. 整数二整除的性质三 算术基本定理四 同余平方数的余数： 同余类：（1）以正整数m为模，则任何整数必与0、1、2、m-1之一同余，把同余的数归为一类，不同余的数不归为一类，则全体整数可划分为m类：， ，（2）分别在中任取一个数叫做模m的一个完全剩余系。(3).m个整数为模m的一个完全剩余系的充要条件为这m个数对模m两两不同余。 Fermat小定理：p为素数，则；特别地，如=1，则五 Gauss函数：六不定方程 七进位制八奇偶分析法九无穷递减法例题选讲1.（1）求自然数N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在内
2、，它共有10个约数（2）n是满足下列条件的正整数中最小的数：（1）n是75的倍数；（2）n恰有75个正整数因子（包括1及本身）。试求2.已知正整数p, q都是质数，并且7p+q与pq+11也是质数，求p, q的值3. n为奇质数，求证：2n1与2n+1不能同时是质数4.已知数列（）满足，对于所有正整数，有，求使得成立的最小正整数5. 设m0，n0,且m是奇数，则6. 对所有的正整数mn，证明：7. 设为方程x2x10的两个根，令，n1,2, （1） 证明：对任意正整数n，有an+2an+1an（2）求所有正整数a、b，ab，满足对任意正整数n，有b整除an2nan8. 求所有的三元正整数（a，
3、b，c），使得a+b+c是a，b，c的最小公倍数。9. 求满足下列条件的所有正整数，： （1）与互素； （2）10.设p是奇素数，且证明：11. 设，计算某星期一后的第天是星期几？12.()设n为任意整数，证明10|n4q+r-nr，其中q,r为正整数.()设n为自然数,证明n7+6!n为7的倍数.13. 若正整数a、b、c满足a2+b2=c2，就称a、b、c为一组勾股数，证明：若a，b，c是一组勾股数，则abc能被60整除14. 设p是一个素数，. 设，是整数，满足. 求证：存在整数，使得15. 已知a、b、c为两两互质的正整数，且，求a、b、c 的值。16. 设是正整数, = (其中表示不超过的最大整数)，求同时满足下列条件的的最大值：(1) 不是完全平方数；(2) .17.求所有使得p2-p+1为立方数的素数p。18. 求出所有满足方程x2-2009y+2y2=0的整数解。19.试求满足方程的所有整数对20. 试求所有的正整数，使方程有正整数解.21. 求出所有的正整数m、n，使得是完全平方数22. 找出所有的正整数对(m,n),使得6m+2n+2是一个完全平方数.23. 设整数 a，b，c 满足 1abc，且a|bc1，b|ca1，c|ab1求出所有的三元数组(a，b，c)24.证明：方程有无穷多组满足的整数解。25. 2
