《高中数学通关系列之“极坐标与参数方程30题”.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学通关系列之“极坐标与参数方程30题”.docx（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学通关系列之“坐标系与参数方程”1在平面直角坐标系，曲线的参数方程为：为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程解：（1）曲线的参数方程为：为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为（2）直线转换为极坐标方程为与曲线交于，两点，所以，得到，曲线交于，两点，所以，则，所以，当时，取得最大值此时的极坐标方程为，即直角坐标方程为2在直角坐标系：中曲线的参数方程为为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹
2、为曲线（）求的参数方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，将曲线、的方程转化为极坐标方程后，求解：（）设由于点满足，所以，由于点在上，所以，整理得的参数方程为参数）（）曲线的参数方程转换为极坐标方程为，曲线的参数方程转换为极坐标方程为，直线转换为极坐标方程为所以，解得，同理，解得，故3在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求证：直线与圆必有两个公共点；（2）已知点的直角坐标为，直线与圆交于，两点，若，求的值解：（1）圆的极坐标方程为由，得曲线的直角坐标方程为法
3、一：将直线的参数方程为为参数）代入，得，方程有两个不等的实数解直线与圆必有两个公共点法二：直线过定点，在圆内，直线与圆必有两个公共点（2）记，两点对应的参数分别为，由（1）可知，4在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点满足，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求点的轨迹的极坐标方程；（）已知直线与曲线交于，两点，若，求的值解：（）曲线的参数方程为为参数），设，由于点满足，所以为参数），转换为直角坐标方程为转换为极坐标方程为（）直线转换为极坐标方程为，设，由于，所以，即，由于，所以，解得所以，解得5在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为：为参数
4、），直线，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的取值范围（1）解：由曲线的参数方程为：为参数），转换为普通方程为：，转换为极坐标方程为：；（2）解：由直线可得其极坐标方程：，代入曲线的极坐标方程得：可得：，故，故6在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和直线1的直角坐标方程（2）若直线1与曲线相交于，两点，求的面积解：（1）曲线的参数方程为，为参数），转换为直角坐标方程为直线的极坐标方程为转，整理得换为直角坐标方程为
5、（2）由于圆心到直线的距离，所以，所以7在平面直角坐标系中，曲线的方程为以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）写出曲线的极坐标方程，并求出直线与曲线的交点，的极坐标；（2）设是椭圆上的动点，求面积的最大值解：（1）曲线的方程为转换为极坐标方程为：联立，得，（2）易知，直线设点，则点到直线的距离（其中面积的最大值为8在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）直线与圆交于，两点，点，求的值解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为圆的极坐标
6、方程为，转换为直角坐标方程为（2）把直线的参数方程为为参数），代入圆的直角坐标方程，得到，所以9在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于、，且，点的直角坐标为，求的面积解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为（2）直线转换为极坐标方程为，代入，解得代入，得到，由于，所以，故：，解得，所以，则10极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以、轴正半轴为极轴已知
7、曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，与曲线分别交于异于极点的四点，（）若曲线关于对称，求的值，并求的参数方程；（）若，当时，求的范围解：（1）曲线的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为，转换为标准式为曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为由于曲线关于对称，所以圆心的坐标经过直线的方程，所以所以的参数方程为为参数）（2）根据题意整理得，所以，由于，所以，所以11已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为（）写出直线的参数方程及圆的普通方程；（）设与圆相交于两点、，求解：（）直线经过点，倾斜角，转换为参数方程为：为参数）圆的极坐标方程为转换为直角坐标方程为（）把直线的参数方程代入，
8、得到，所以，所以12在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线有且仅有一个公共点求；（2），为曲线上的两点，且，求的最大值解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，整理得，由于直线与曲线有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离，解得或（负值舍去）（2），为曲线上的两点，且，设点为曲线上靠右的点，所以，所以，当时，的最大值为13平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直
9、线的极坐标方程为：，点（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程（2）若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积解：（1）曲线消去参数可得：，展开可得：，可得，在方程中，同理可得，将展开可得：，同理：即（2）联立与可得点，同理点，又，易得：，14已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程为转换为，转换为直角坐标方程为（2）直线的参数方程为为参数），转换为标准式为
10、为参数），代入圆的直角坐标方程整理得，所以，15在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的值解：（1）曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为（5分）（2）设直线的参数方程为为参数），将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，点在直线上，（10分）16在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，为直线上的任意一点（1）为曲线上任意一点，求、两点间的最小距离；（2）过点
11、作曲线的两条切线，切点为、，曲线的对称中心为点，求四边形面积的最小值解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为所以圆心到直线的距离，所以最小距离（2）由于圆心到直线的最小距离，所以构成的切线长为，所以四边形面积的最小值为17在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线相交于点，将逆时针旋转后，与曲线相交于点，且，求的值解：（1）由曲线的参数方程为，为参数），可得其直角坐标方程，由，得曲线的极坐标方程，由，得曲
12、线的直角坐标方程（2）将代入，得将逆时针旋转，得的极坐标方程为，所以由，得，即，解得因为，所以18已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于原点的，两点，且，求的值解：（1）曲线的参数方程为为参数，转换为和直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为，整理得（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于原点的，两点，所以，故，同理，故，由于，所以，所以，所以或19在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程
13、为为参数）直线与曲线分别交于，两点（）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（）若点的极坐标为，求的值解：（）曲线的极坐标方程为，则，化简得，曲线的直角坐标方程，直线的参数方程为，即直线的普通方程为；（）将化为直角坐标为，将直线的普通方程为化为参数方程，并代入，化简并整理得，直线与曲线交于，两点，解得，由根与系数的关系得，在直线上，20在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是是参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆的极坐标方程为由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值解：将直线的参数方程化为普通方程为，将圆的极坐标方程化为普通方程为，即，作图如下，由可知
14、，要使切线长最小，由于为定值，故只需最小，而的最小值为圆心到直线的距离，又圆心，直线，即切线长的最小值为21在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）若，求曲线与的交点坐标；（2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，且的最大值，求的值解：（1）曲线的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为当时，直线的参数方程为为参数），整理得，转换为直角坐标方程为所以，解得或，所以交点坐标为和（2）曲线的直角坐标方程为，故曲线上任意一点到直线的距离，则，当时，的最大值为，解得当时，的最大值为，解得故或22在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设点为曲线上的点，直线经过圆的圆心，且倾斜角为，求点到直线的最大距离解：（1）曲线的参数方程为为参数）转换为直角坐标方程为圆的极坐标方程为转换为直角坐
