两角和差的余弦

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1、关于两角差的余弦公式的说课稿临澧县第一中学黄波各位领导、各位老师：大家好！我是临澧一中的黄波。今天我说课的题目是两角差的余弦公式。我计划从教 材背景、教学目标、教学方法、教学过程、教学评价等方面来谈谈我对本节课的理解。背景分析1、教材所处的地位和作用：两角差的余弦公式是新课标人教版数学必修四第三章第一课时的教学内容， 是本模块第一章三角函数和第二章平面向量相关知识的延续和拓展。其中心 任务是通过已学知识，探索建立两角差的余弦公式。它不仅是前面已学的诱导公式的 推广，也是后面其它和(差)角公式推导的基础和核心，具有承前启后的作用，是本 章的重点内容之一。2、重点，难点以及确定的依据：对本节课来说

2、，学生最大的困惑在于如何得到公式.所以，本节课的教学重点是：两角差的余弦公式的探究和应用；教学难点是：两角差的余弦公式的由来及证明； 引导学生通过主动参与，独立探索。教学目标设计(1) 知识与技能：本节课的知识技能目标定位在公式的向量法证明和应用上；学会运用分类讨论思 想完善证明；学会正用、逆用、变用公式；学会运用整体思想，抓住公式的本质.在 新旧知识的冲撞过程中，让学生自主地对知识进行重组、构建，形成属于自己的知识 结构体系.(2) 过程与方法：创设问题情景，调动学生已有的认知结构，激发学生的问题意识，展开提出问题、 分析问题、解决问题的学习活动，让学生体会从“特殊”到“一般”的探究过程；在

3、 探究过程中体会化归、数形结合等数学思想；在公式的证明过程中，培养学生反思的 好习惯；在公式的理解记忆过程中，让学生发现数学中的简洁、对称美；在公式的运 用过程中，培养学生严谨的思维习惯和自我纠错能力.(3) 情感、态度与价值观：体验科学探索的过程，鼓励学生大胆质疑、大胆猜想，培养学生的“问题意识 使学生感受科学探索的乐趣，激励勇气，培养创新精神和良好的团队合作意识.通 过对猜想的验证，对公式证明的完善，培养学生实事求是的科学态度和科学精神.教法设计1、学情分析：学生刚刚学习了同角三角函数的变换及平面向量的知识，对用举反例推翻猜想、 运用单位圆、用向量解决三角问题已经有了一定的基础，但还远未达

4、到综合运用这些 方法自主探究和证明的水平.2、教学手段：(1) 从知识的认知程序上看，老师看问题从整体到局部，而学生却是从局部到整 体。本节课尝试将“带着知识走向学生”的接受式教学模式转变为“带着学生走向知 识”的探究式教学模式，充分尊重学生的主体地位.(2) 本节课的教法采用了 “一个主题两种教学”的设计模式.一个主题：公式探 究与应用，两种教学：显形教学(知识能力教学X隐性教学(情商培养)，实践两种 教学相互促进的人性化教学理念.(3) 在课堂上营造民主、开放、平等的教学氛围，注重教学评价的多元性，将简 单的结果评价上升为对过程的评价；将一味的知识评价拓展为能力评价，突出学生的 主体性，实

5、现显形教学与隐性教学的双重评价，为全面发展学生打下基础.(4) 利用几何画板，通过计算机技术，给学生提供一种验证猜想合理性的途径. (教学媒体设计)课堂结构设计：引入课题，提出猜想，实验探究，严谨证明，例题训练，课堂小结教学过程设计1、引入课题:例：如图所示，一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60 ,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了 3 m,求力F作用在物体上的功W.解: W = F - S = F - S - cos(60=30 cos(60o - P).提问：1、解决问题需要求什么？8mO2、你能找到哪些与P有关的条件?3、能

6、否利用这些条件求出cos(60o-p) ?如果能，提出你的猜想.4、怎样检验这些猜想是否正确？【设计意图】生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，也与物理(功的定义)、 哲学(透过现象看本质)等相关学科相联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习 热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程.2、提出猜想：从特殊情况去猜测公式的结构形式.令 a =兀，则:cos(a - p) = cos(兀-p) = - cos p令 a =-，则:cos(a - p) = cos(- - P) = 一 sin P 22分析：可见，我们的公式的形式应该与cosa、cosp和sina、sinp均有关系？他们之间

7、存在怎样的代数关系呢？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想.用具体值检验猜想的合理性.令 a = 150o, p = 60o 则 cos(a - p) = cos(150 60。)= cos90。= 0三角函数cos150ocos 60 osin150 osin 60 o三角函数值玉212122猜想： cos(a - p) = cos a cos p + sin a sin p【设计意图】鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学 生探索问题、挑战困难的勇气.3、实验探究：【设计意图】让学生用几何画板进行数学实验，激起学生的好奇心和探究欲望, 使学生体会到数学的系

8、统演绎性和实验归纳性的两个侧面.4、严谨证明：（利用向量）前一章我们刚刚学习完向量，并用向量知识解决了相关的几何问题，这里，我们 能否用向量知识来推导两角差的余弦公式呢？我们来仔细观察猜想的结构，我们在什 么地方见到过类似结构？在向量部分，求角的余弦有什么方法吗？（学生：向量的数量积！）证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角以、P，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B,则:OA = (cos a ,sin 以),OB = (cos P ,sin P)cos(a - P) =- (cosa ,sin a)(cos P ,sin P)I OA II OB I=cos P cos

9、 a + sin P sin acos(a - P) = cos P cos a + sin P sin a(0W a - P W 兀)思考：1、a-P作为两向量的夹角，有没有限制条件？2、如果a-P不在】0,丸这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？(引导学生找到a-P与夹角6之间的关系)【设计意图】让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法在 数学探究过程中的简洁性。思考：1、a-P作为两向量的夹角，有没有限制条件？2、如果a-P不在】0,丸这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？(引导学生找到a-P与夹角6之间的关系)推广完善：令6为OA、OB的夹角，则。a

10、 - P = 2k兀 +6 或P -a = 2k兀 +6 (k e Z)无论哪种情况，都有cos(a - P) = cos6即 cos(a - P) = cos 6 = cos a cos P + sin a sin P小结：两角差的余弦公式：cos(a - P) = cos a cos P + sin a sin P(其中a、P为任意角，简记为C )(a-P)思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎 样记忆？(对学生的回答给予及时肯定)【设计意图】引导学生关注两个向量的夹角。与a-B的联系与区别，并通过观 察和讨论，增强学生用数形结合、分类讨论的方法解决问题的意识

11、，感受数学思维的 严谨性.（介绍单位圆的三角函数线法）除了以上的证明方法，是否还有其它证法呢？我们发现，cos-。）这里涉及的是三角函数，是a-p这个角的余弦问题，那 我们还能不能考虑在单位圆里用三角函数线来推导呢？请同学们课后自己在单位圆中画出a、P、a-p，并考虑如何用角a,p的正弦 线、余弦线来表示a-p的余弦线？这个问题作为课后思考题，请同学们课下相互讨论，共同探索。【设计意图】根据教学实际，对教材进行适当安排，把单位圆三角函数线证法留 作课后学生思考，为学生的课后探讨留有空间。5、例题训练: 1、解决引例中的问题.2 3兀33兀2、P127 练习:求cos(p -a).已矢口 sin

12、 a , a g (兀，),cos p , p g (, 2兀)，3 242（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）3、4、公式的逆用：.求2cos 15。+；sin15。的值i11兀、公式活用：cos a,cos（a + p）-,且a、pe（0, ），求 cos p .7142【设计意图】例1让学生运用所学解决实际问题；例2利用变式突破学生在运用 公式过程中的易错点；例3对逆用公式解题加深认识；例4活用公式，加深学生对公 式中两角形式变化的认识，强化整体思想。6：课堂小结:公式探索的一般步骤；公式的结构和功能；公式的运用应注意的问题。7、作业：P127 练习 1、2、3；3

13、4sin a + sin p 5 ,cos a + cos p 5,求 cos(a - p).【设计意图】让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式的推导和应用过 程的理解，促进知识的内化；然后用作业巩固本节课所学知识。（附：板书设计）3.1.1两角差的余弦公式一、公式二、证明引例：例2：例3：例4：小结：教学评价分析诊断性评价：1. 按常规，学生很可能想到先探究两角和的正弦公式，怎样想到先研究两角差 的余弦公式是一个难点（但非重点），教学时可以直接提出研究两角差的余弦公式。但 后面补充老教材的证明方法，让学生明白和与差内在的联系性与统一性，努力让学习 过程自然。2. 尽管教材在前面的习题中

14、，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫， 多数学生仍难以想到.教师需要引导学生，联想到向量的数量积公式和单位圆上点的 坐标特点，努力使数学思维显得自然、合理。3. 用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨的错 误，教学时需要引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别。预期效果：1、让学生在掌握两角差的余弦公式探究方法的基础上，能够自我总结形成公式 探究的一般方法。2、激发学生的探究欲望，能够独立或合作提出推导其它三角恒等式的方案，形 成对三角恒等变换的本质认识，加深对灵活运用公式的理解。3、培养学生的“问题意识”，在探索的过程中学会将“知识问题化”，大胆、合 理地提出猜测，通过证明、完善，最终达到将“问题知识化”的目的.以上是我对这节课的浅显认识和处理，不到之处见谅。