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2005级硕士研究生矩阵理论试卷参考答案一、判断题（40分）（对者打，错者打）1、 , ( )2、设是矩阵A的特征值，则. ( )3、如果，且，, 则. ( )4、设为丛属于向量范数的算子范数，(其中，E为n阶单位矩阵，)，则 ( )5、设，则矩阵的谱半径. ( ) 因为，故结论成立6、若严格对角占优，则的谱半径 ( )7、若设，则. ( )8、设，则. ( )9、设为矩阵的广义逆，为的最大秩分解，则 秩. ( )10、设，则A的特征值均为实数. ( )二、 证明：(1) 当时，；当时，存在使得，从而。(2) .(3) .(4) 三、证明： 1为A的特征值 四、设为列满秩矩阵，为M-P广义逆，,证明: 为上的矩阵范数. (10分)证明：(1) 当时，；当时，为列满秩矩阵, 则, 。于是，从而。(2) (3) 五、 解：(1) A的最大秩序分解为(2) ， ， (3) 线性方程组的最佳逼近解为：六 证： A为n阶正规矩阵 另证：A为n阶正规矩阵，设。 七、 证：(1) 若矩阵范数为自相容矩阵范数，则 (2) ，其中。 对，取对角矩阵 ，则，其中，于是 记，并定义，易知为自相容矩阵范数。于是。八、 证： ，为严格对角占优矩阵
