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1、随机变量及其分布2.1 随机变量一、 概念对于随机试验：E甲,乙两人同时向某目标射击一次中靶情况 E: ，X表示射击中靶的次数，对应的取值为；0，1，2。 定义：随机变量是定义在样本空间S=上的一个单值实函数，记作X=X(),简记为X。二、 分类1、 离散型随机变量2、 非离散型随机变量2.2 离散型随机变量一.离散型随机变量的分布设离散型随机变量可能取的值为:取这些值的概率为P(X=i)= pi ,i=1,2,. (2.1) 称(2.1)式为离散型随机变量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下: X P 上述表格称为离散型随机变量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩阵的形式： 离
2、散型随机变量的分布律，分布列（以及下一节介绍的分布函数）统称为离散型随机变量的概率分布，简称为离散型随机变量的分布。 根据概率的性质，可知离散型随机变量的分布律具有下列性质（1）pi0,i=1,2,.（2）常见的几种分布1、 单点分布例: 若随机变量X只取一个常数值C，即P(X=C)=1，则称X服从单点分布。（也叫退化分布。）2、0-1分布例: 若随机变量X只能取两个数值0或1，其分布为 X 0 1 P q p0p 1,q=1-p，或记为P()=pkq1-k ,k=0,1则称X 服从参数为p 的两点分布或参数为p的0-1分布。3、 几何分布例: 一射手每次打靶射击一发子弹，打中的概率为p(0p
3、0，则称X服从参数为l的泊松分布,记为。2 泊松Poisson定理P41, 设有一列二项分布XB(), n=1, 2, .,如果 , 为与n无关的正常数，则对任意固定的非负整数k，均有 证略。例5:P43.例6:P44,自学。 2.3 随机变量的分布函数一、概念定义2.1 设X是一随机变量（不论是离散型还是非离散型），对任意的实数,令 (2.11)则称F（）为X的分布函数。例1:（书上例2.8） 设X服从参数为p的（0-1）分布，即：,= 0,1,其中0p1,q=1-p.求X的分布函数F().例: 设R.V. X的分布函数为 求X的概率分布。二、性质性质1 若12,则F(1)F(2).即F()
4、是的单调不减函数。性质2 对任意的实数，均有 0 F()1 (2.15)且 (2.16) (2.17)性质3 对任意的实数0,有 (2.18)即F()在轴上处处右连续。 证明见P-44. 性质4 若F()在X=0处连续，则P(X=0)=0性质5 P(aXb)=F(b)-F(a)例: 设R.V.X的分布为 确定A ,且求P(-12) 2.4 连续型随机变量一、 定义2.2 设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有 F()= (2.20)则称X是连续型随机变量，称f()是X的概率密度或密度函数，简称密度。二、图形例如：正态分布密度函数图形：data no
5、rmal;do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;分布函数图形：data normal;do x=-3 to 5 by 0.01;y=PROBNORM(x);output;end;run;proc gplot data=normal;plot y*x=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;三、性质性质1 f
6、()0 (2.21)性质2 (2.22)性质3 P(a0,且很小时，有 P(0.1指数分布：例：(第一版)设R.V. (1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(); (3)P。例：(第一版) 已知随机变量 （1） 确定A和B；（2）求；(3)求二、均匀分布例：设R.V.，称X在,b上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(aXa+s)(aaa+sb)。(3)写出X的分布函数F()。 定义：若随机变量X的概率密度为 则称X在上服从均匀分布，记为XUa,b,相应的分布函数为 一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为 则称X在D上服从均匀分布。如果，则对于满足的任意的,有 = (2.3
7、2)三、指数分布若随机变量X的概率密度为 （2.33）其中常数，则称X服从参数为l的指数分布，相应的分布函数为 (2.34)例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的Dth内损坏的概率为，其中l是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略四、正态分布 1、定义： 若随机变量X的概率密度为 , (2.35)其中都为常数且，则称X服从参数为的正态分布，记为，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为 （2.36）2、 验证 3、 作出的图形 ，得驻点，得， 作图SAS程序：data normal;
8、do i=-3 to 3 by 0.01;z0=exp(-i*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);output;end;run;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。data normal; retain _seed_ 0; do _i_ = 1 to 1000; z = 0 + 1 * rannor(_seed_); output; end; drop _seed_ ;run;proc gplot data=n
9、ormal;plot z*_i_=1 ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;4、 性质：（1） f(x)的图形是关于直线x=m对称的曲线（2） 为最大值，当x远离m时，f(x)0（3） 当m固定而s变化时对图形的影响，s小 大，分布曲线在形成陡峭的高峰。s大小，分布曲线在变成缓峰。m=2, s=0.5, 1, 2data normal;do i=-2 to 6 by 0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=
10、exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.1415926);output;end;proc gplot data=normal;plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;symbol1 v=none i=join r=1 c=black;run;m=2, s=0.5, 1, 2, 5, 10图形：data normal;do i=-5 to 9 by 0.01;z0=exp(-(i-2)*2/2)/sqrt(2*(3.1415926);z1=exp(-(i-2)*2/(2*0.25)/(0.5*sqrt(2*(3.1415926);z2=exp(-(i-2)*2/(2*4)/(2*sqrt(2*(3.
