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1、数字信号处理实验报告实验名称：离散系统的Z域分析学号： 姓名： 评语： 成绩： 一、实验目的1、掌握离散序列z变换的计算方法。2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。3、掌握利用MATLAB进行z反变换的计算方法。二、实验原理与计算方法1、z变换离散序列x(n)的z变换定义为：。在MATLAB中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z变换。其命令格式为：syms n; f=(1/2)n+(1/3)n;ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入与
2、输出关系，即y(n)= x(n)* h(n)对该式两边取z变换，得： Y(z)= X(z) H(z)则： 将H(z)定义为系统函数，它是单位抽样响应h(n)的z变换，即对于线性移不变系统，若n0时，h(n)=0，则系统为因果系统；若，则系统稳定。由于h(n)为因果序列，所以H(z)的收敛域为收敛圆外部区域，因此H(z)的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为，若z=1时H(z)收敛，即，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。因此因果稳定系统应满足的条件为：，即系统函数H(z)的所有极点全部落在z平面的单位圆之内。3、MATLAB中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法
3、MATLAB中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。其中A为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p是包含该多项式所有根位置的列向量。如：求多项式的根的MATLAB命令为：A=1 3/4 1/8;p=roots(A)运行结果为：p=-0.5000-0.2500也可以用z,p,k=tf2zp(B,A)函数求得。其中z为由系统的零点构成的向量，p为由系统的极点构成的向量，k表示系统的增益；B、A分别为系统函数中分子分母多项式的系数向量。离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z的正次幂降幂排列，如，另一种
4、是分子分母多项式均按z的负次幂升幂排列，如，在构造多项式系数向量时，分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，缺项用0补齐。对于H1(z)其分子多项式的系数向量应为：B=0 1 0 2 0；分母多项式的系数向量应为：A=1 3 2 2 1。对于H2(z)其分子多项式的系数向量应为：B=1 1 0；分母多项式的系数向量应为：A=1 1/2 1/4。绘制系统函数的零极点图可由MATLAB中的zplane函数实现。该函数的调用方法为：zplane(B,A)或者zplane(z,p,k)，其中B，A，z，p，k的含义与tf2zp函数相同。若调用zplane(B,A)绘图，则首先将系统函数中分子分母多项
5、式变换成按z的正次幂降幂排列的系数向量，再求零极点。 4、z反变换的计算方法z反变换可由部分分式展开法求得。由于指数序列anu(n)的z变换为，因此求反变换时，通常对进行展开：其中称为有理函数的留数。分两种情况进行讨论：（1）X(z)的所有极点均为单实极点此时，则X(z)的z反变换为：（2）X(z)有共轭极点设X(z)有一对共轭极点，则，其中留数的计算方法与单极点相同，即，r2=r1 *因此，只要求出部分分式展开的系数（留数），就可以直接求出X(z)的z反变换x(n)。在MATLAB中可利用函数residue()求解。令B和A分别是的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数r,p,k=resid
6、ue (B,A)将产生三个向量r、p、k，其中r为包含部分分式展开系数ri(i=1,2,N)的列向量，p为包含所有极点的行向量，k为包含部分分式展开的多项式项的系数cj(j=1,2,M-N)的列向量，若MN，则k为空阵。用residue()函数求出部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直接求出X(z)的反变换x(n)。如：已知，求其z反变换x(n)。首先利用residue()函数求出的部分分式展开的系数和极点，相应的MATLAB命令为：B=0 1 0;A=1 3 2;r,p,k=residue (B,A)运行结果为：r = 2 -1p = -2 -1k = 由以上结果可得：；即X(z
7、)只有两个单极点，其z反变换为：。已知，求其z反变换x(n)。利用residue()函数求出的部分分式展开的系数和极点，可得：B=0 0 1 1;A=1 -2 2 -1;r,p,k=residue (B,A)r = 2.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000ip = 1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660ik = 可见，包含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位，相应命令为：p1=abs(p)p1 = 1.0000 1.0000 1.0000a1=angle(p)/pia1 = 0
8、 -0.3333 0.3333即共轭极点为：，则，其z反变换为：三、实验内容（1）求下列序列的z变换：2-nu(n)；-(1/2)n u(n)；(1/2)n+(1/3)n u(n)实验代码：syms n; f1=(2)(-n);f2=-(1./2)(n);f3=(1./2)(n)+(1./3)(n);ztrans(f1)ztrans(f2)ztrans(f3)实验截图：（2）已知两个离散因果系统的系统函数分别为： ；分别求出各系统的零极点，绘制零极点图，分析系统的稳定性；求出各系统单位抽样响应。实验代码：A1=1 2 -4 1;B1=0 1 1 0;Z1 P1 K1=tf2zp(B1,A1)r1,p1,k1=residue(B1,A1)pl=abs(p1)al=angle(p1)/pizplane(B1,A1)title(H1(z)系统零极点图)实验截图：实验代码：A2=1 1 1/2 0;B2=0 2 -1 1;z,p,k=tf2zp(B2,A2);r,p,k=residue(B2,A2);p1=abs(p);a1=angle(p)/pi;zplane(B2,A2);title(H2(z)系统零极点图)实验截图：
