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1、第七单元：双曲线及其几何性质一、篇首栏目：1、漫画导入：一个小人a代表椭圆，另一个小人b代表双曲线。a说:我是平面内到两定点距离之和是定值的点组成的。b说：我是平面内到两定点距离之差是定值的点组成的。2、编者的话：双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点，直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点。高考主要以选择、填空题的形式考查，属中低档题目。学习的重点是用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程，以及利用双曲线的标准方程求双曲线的几何性质。体会渐近线与双曲线方程、离心率的关系。 3、精彩导读基础篇1、椭圆与双曲线的“对话”2、二元二次方程一定表示什么曲线3、方法点拨求双
2、曲线的标准方程（1）利用定义法确定双曲线的方程 （2）待定系数法确定双曲线的方程 （3）直接法确定双曲线的方程4、技巧点拨巧解方程5、知识点归纳渐近线四点应用提高篇6、性质探讨双曲线的离心率7、双曲线方程典例分析8、变式训练 升华提高链接篇9、数学高考中双曲线主要考查什么？10、高考双曲线解答题怎样考？应用篇二、基础篇，学习从此开始椭圆与双曲线的“对话”双曲线与椭圆虽然同居住在圆锥曲线的大村中，可由于所出的领域不同，它两彼此并不认识，只有以此它俩逛街时不期而遇，才慢慢认识对方，这是怎吗一回事呢？双曲线：你是谁呀，走路不长眼！把我撞疼了。椭圆：哦，对不起！你长的怎吗这么古怪啊，简直时个怪物！我们
3、椭圆可不是你这幅怪摸样!双曲线：我可不是怪物，我叫双曲线！我觉得你才是怪物呢！大热的天把自己包得密不透风的。椭圆：这可是我们椭圆的特别之处！我们家族的成员都是平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。双曲线：我们双曲线时平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于）的点的轨迹，记住了，以后别再班门弄斧了！椭圆：我们的标准方程：或，其中，你有吗？双曲线：哈哈！我们的更绝，或就是我们的标准方程，我们还有焦距、实轴、虚轴呢！方程中的就是实半轴、时虚半轴、半焦距为，且呢！椭圆：嘘！肚子里没有货了就拿虚轴来充数了，没有就是没有，干嘛还取那么好的一个名子，还|“虚轴”呢！我们不但有
4、焦距，还有长轴、短轴，其中就是长半轴、时短半轴、半焦距为，且呢！我们还由离心率呢，并且，你有吗？双曲线：嗨！你们的离心率才那么点范围呀？我们可比你们的大多了，我们的离心率，！椭圆：我们有四个顶点，你有吗？我看你那样也弄不出四个顶点来。双曲线：要那么多顶点把自己框的死死的干嘛，你瞧我，只有来你哥哥顶点，而我的范围确实或（或），多么轻松，在瞧瞧你，我可真同情你，你上面的点永远也只能在与（与）围成的矩形内活动，我差点忘了十分重要的一点，我还有两条渐近线，我的焦点在轴上时，渐近线的方程为，焦点在上时，渐近线的方程为，渐近线的特点是十分靠近双曲线却又不与双曲线相交，它们就像我的保镖，你有吗？椭圆：哦，老
5、弟，我不跟你比了，我总觉得咱俩由很多相似的地方，你在那个村住啊？双曲线：援助曲线村呀！椭圆：哎呀，真是大水冲了龙王庙，我也是圆锥曲线存在的一员，咱俩应该团结互助，共同为咱们大家族作出更大的贡献！二元二次方程一定表示什么曲线在高中阶段，我们学习过了一些二元二次方程，那么二元二次方程能表示那些曲线呢？下面对这个问题作简单的探究：问题探讨：对于二元二次方程（其中不能同时为零） 当时，方程为，即，表示与轴平行的两直线；当时，方程为，即，表示与轴平行的两直线；当时，方程为，表示以原点为圆心，半径的圆；当，且时，方程为，其中：当时，表示以为焦点，长轴长为的椭圆.当时，表示以为焦点，长轴长为的椭圆.当时，方
6、程为，其中：当时，方程为表示焦点在轴上的双曲线.当时，方程为表示焦点在轴上的双曲线.例如、探究方程表示何睁曲线？解析：当时，即，方程无解，方程不表示任何曲线；当时，即，方程表示焦点在轴上的双曲线；当时，即，方程表示焦点在轴上的双曲线；当时，不存在；当时，不存在； 当，即时，则，方程不表示任何曲线.点评：对于方程不能轻易认为它们表示椭圆或双曲线，因为这里的符号及大小关系都不能确定，应严格按照的符号及大小关系进行合理判定.方法点拨求双曲线的标准方程求动点轨迹方程是一个综合性的课题，渗透性强，牵涉知识面宽，其实质是将“形”转化为数，将“曲线”转化为“方程”，数、形结合体现“转化”的数学思想方法。利用
7、定义法确定双曲线的方程BAODP例1、（08年湖北卷）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点，建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；解析：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则，依题意得：曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则，c ，曲线C的方程为.点评：若动点的几个条件符合某方程为已知曲线的定义，那么便可以利用曲线的定义求解曲线的轨迹方程。待定系数法确定双曲线的方程例2、点P是以为焦点的双曲线C：上的一点，已知 试求双曲线的离心率；过点P作直线分别与双曲线两渐近
8、线相交于两点，当，时，求双曲线的标准方程。解析：由题意知， 又，双曲线的离心率为。由知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为 设 ， ， 点P在双曲线上，化简得，双曲线的方程为。点评：待定系数法是求曲线方程常用的方法之一，特别是当已知圆锥曲线的形状时，利用待定系数法来求方程可使解题过程清晰简捷，利用待定系数法的一般步骤求解。直接法确定双曲线的方程例3、设直线与双曲线交于两点，且以AB为直径的圆过原点，求的轨迹方程。分析：求点的轨迹方程，即探究满足的关系式，通过条件“以AB为直径的圆过原点”即可找出满足的条件。解析：联立方程组得： 消去得： 直线与双曲线交于两点， 解得：。 设， 则 由得 ，又有
9、化简得：故P点的轨迹方程为：点评：若题目有明显的等量关系，或可用几何知识推出等量关系则可利用直法求轨迹方程，但特别注意直线与双曲线有两个交点来限制曲线的范围。技巧点拨巧解方程求动点轨迹方程是一个综合性的问题，渗透性强，其实质是将“形”转化为数，将“曲线”转化为“方程”，数、形结合体现“转化”的数学思想方法，下面对巧设双曲线方程的形式，求解双曲线的标准方程作简单的例析：一、根据双曲线上两点，巧设方程：例1、已知双曲线过和两点，求双曲线的标准方程.分析：因无法判定双曲线的焦点位置，可巧设双曲线的方程为，然后代入点，求解参数.解析：由题意知，设双曲线的标准方程为， 点在双曲线上，所以有 解得， 所求
10、双曲线方程为，即.点评：本题中将双曲线的方程设为，运算简捷、方便，同时此法在椭圆中也有类似的应用，在解题时应注意方法技巧的灵活运用.二、根据双曲线的渐近线，巧设方程：例2、根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程： 与双曲线有共同的渐近线，且经过点；焦距为10，渐近线方程为.分析：与双曲线有公共的渐近线，可巧设双曲线方程为；根据渐近线方程，可巧设方程为，从而求解双曲线方程.解析：设所求双曲线方程为，又点在双曲线上，即，所求双曲线的标准方程为.由题意知，渐近线方程为，可设双曲线的方程为，即，由，得，即，所求双曲线的标准方程为或.点评：本题中根据双曲线的特有性质，把双曲线的方程设为，将大大减少试题的
11、运算量，方法显得灵活，轻便.三、根据双曲线的离心率，巧设方程.例3、求适合下列条件的双曲线的标准方程： 离心率，且过点；过点，离心率为.分析：根据双曲线的离心率，巧方程的形式，简化运算.解析：由题意知，可设双曲线的方程为， 过点， 双曲线的标准方程为.由题意知，则，则，即 可设双曲线的方程为或， 又点在曲线上，解得；点在曲线上，此时无解.所求双曲线的方程为.点评：本题根据双曲线的离心率，当，巧设方程为；当 时，可巧设方程为或，能有效地避繁就简的功效.知识点归纳渐近线四点应用渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线刻画双曲线的性质较为方便，而且较为精确，对有效地掌握双曲线的相关性质会有很大的
12、帮助：一、利用双曲线的标准方程求渐近线的方程：例1、若双曲线的方程为，则双曲线的渐近线的方程为 解析：法1、由双曲线的方程，得，所以渐近线的方程为。法2、令，积得该双曲线的方程为。点评：双曲线的渐近线方程为；双曲线的渐近线的方程为，有时同学搞不清双曲线的焦点在何坐标轴上，此时可方程中等号右边的1改写成为0，就可求解双曲线的渐近线方程。二、利用双曲线的渐近线方程设标准方程：例2、已知两直线与，求以为渐近线且经过点的双曲线的标准方程。解析：设所求双曲线的方程为，即， 又双曲线过点，解得， 所以，双曲线的标准方程为，即。点评：根据渐近线方程可设双曲线的标准方程为，当，表示焦点在轴上的双曲线，当，表示
13、焦点在轴上的双曲线，这样将能减少大量的运算，提高解题的有效性。三、利用渐近线方程研究双曲线的几何性质：例3、已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为 。解析：由题意知： 当双曲线的焦点在轴上时，此时，离心率为； 当双曲线的焦点在轴上时，此时，离心率为， 所以，双曲线的离心率为或。点评：双曲线标准方程的两种形式下，对应两种不同的渐近线方程，故应分类讨论。四、利用渐近线方程研究参数的范围：P例4、若双曲线的方程为，过点的直线与双曲线的左支交于A、B两点，求直线的斜率的取值范围 。解析：由双曲线的方程， 可得渐近线方程为，过点P作渐近线的平行线，此时与双曲线仅有一个交点，如图所示，可得直线与双曲
14、线的左支交于A、B两点时，直线的斜率的取值范围或。点评：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以根据这一特征，可解决直线与双曲线的位置关系，即而求解有关参数的范围问题。三、提高篇拾级再进一层性质探讨双曲线的离心率曲线的离心率是曲线的重要性质，是高考的常考点之一，掌握有关sh双曲线的离心率的求解，有助于对双曲线性质的认识。一、利用定义求双曲线的离心率：AyBOx例1、如图所示，和分别是双曲线的两个焦点， 和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A、B、C、D、 解析：由题意知，且为等边三角形，且， 为直角三角形，由双曲线的定义知，. 点评：若已知双曲线的渐近线方程求离心率时，若不知双曲线的焦点位于哪个坐标轴上时，需分情况讨论，同时要注意挖掘的关系及的变形.变式练习1、（1）二、求解离心率的范围、最值：例2、已知双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，求双曲线离心率的最大值 .yOx解析：如图所示，设 由， 解得 ，即， 又，的最大值为.
