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1、 目 录摘要1关键词1Abstract1Key Words1引言11.预备知识11.1 可测集11.2可测函数21.3非负可测函数的勒贝格积分21.4一般可测函数的勒贝格可积22.三类极限定理32.1 列维定理32.2法图引理62.3 勒贝格控制收敛定理93.列维定理，法图引理，勒贝格控制收敛定理之间的关系113.1法图引理与列维定理的关系113.2 列维定理与勒贝格控制收敛定理的关系124.小结13参考文献15 实变函数中积分极限定理的讨论 摘要:勒贝格控制收敛定理展示了勒贝格积分论的优越性，它也因此成为现代数学的重要工具之一.本文主要介绍了三类极限定理及其适用条件，并讨论了列维定理，法图引
2、理，勒贝格控制收敛定理之间的关系.关键词:可测函数, 勒贝格可积函数，积分极限Abstract:Lebesgue control convergence theorem shows the superiority of the theory of the Lebesgue integral, it became one of the important tool of modern mathematics. This paper mainly introduces three kinds of limit theorem and its applicable condition, and di
3、scuss the levy theorem, method of lemma, the relationship between the Lebesgue control convergence theoremKey Words:Measurable function;Lebesgue integrable functions;Integral limit.引言 数学分析主要的考查对象是定义在区间上的连续函数， 复变函数是探讨定义在区域上解析函数的性质，而实变函数则把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域作更加细致的剖析，这就使得实分析处理问题的思想方法更
4、加活跃，可使微积分在较宽松的环境中加以运用，其结果也更加深入和多样性.实变函数的核心内容是有关测度和积分的理论，而一个积分号下求极限的定理展示了勒贝格积分论的优越性，它也因此成为现代数学的重要工具之一. 1.1 可测集 设为中的点集，如果对任一点集都有 =+,则称是可测的.这时的外侧度 ，即称为的测度，记为.11.2可测函数 设是定义在可测集的实函数，如果对于任何有限实数a，都是可测集，则称为定义在上的可测函数.1.3非负可测函数的勒贝格积分 设为可测集，是上的一个非负可测函数，在上的勒贝格积定义为 =显然 ，若，则称在上勒贝格可积.1.4一般可测函数的勒贝格可积若和都有限，则称在上勒贝格可积
5、，简称可积.定理1 设为上的函数列，令， 则是上递增函数列，是上递减函数列，并且 ， 定理2 设为上非负递增函数列，且，则对于任取的自然数，函数列是一致有界的，并且 定理3 设为上一致有界可测函数列，并且 则 2.三类极限定理12.1 列维定理2.1.1列维定理的证明 设为可测集，为上的一列非负可测函数，当时对于任一自然数,有 ，令，则 . 证明 显然在上非负可测且，故.因而 （1）现在相反的不等式，任取上一个非负简单函数使得时.再任取，我们先证 ，令，则是可测子集， ，且且，故.由于是任意的，所以再由的任意性，可知， （2）有（1）与（2）得.2.1.2适用条件 (1)列维定理中去掉函数列的
6、非负性和递增性条件是不可缺少的.设 在上定义函数 显然在上是递增的可测函数列，但不是非负的，下面证明对于此函数列列维定理的结果不成立.事实上，由于 故 另一方面，由于对每一个自然数 , 故 由此可知 (2)设 在上定义函数 则是上非负可测函数列，但不是递增的而是递减的，同样可以证明列维定理的结果不成立，事实上，由于 故 另一方面，由于对每一个自然数, 由此可知 （3)说明对于所给上的非负递减可测函数列积分与极限两种运算顺序不可交换，但这一类函数列如果受到某一个可积函数的控制，则积分与极限的运算顺序仍可交换.设为上递减可测函数列，为的可积控制函数，即在上可积，并且对于任何自然数,有 则 证明 由
7、于函数列是递减的，故其极限函数存在，设 由于 故有 令 则是上非负递增可测函数列，于是由列维定理可知， 即 由于函数在上可积，故与在上也可积，于是由积分的线性性质，得到 所以 2.1.3列维定理的应用 例1设为上可测函数，令 则当，有. 证明 令，则,所以 又在上，所以 故 ，在上，且，由列维定理知，所以 即 2.2法图引理2.2.1法图引理及证明 设为可测集，为上的一列非负可测函数，则. 证明 令则是上的一列非负可测函数且时 于是 2.2.2 适用条件 （1)法图引理中的“”不能改成“=”. 令则对任意，有，故 ，而对于任意的自然数, 故 (2)法都引理中不等号确能成立.设,则是上的非负可测
8、函数，而 所以 另一方面，对任意，由于 所以 从而 即有 2.2.3法图引理的应用 例 2 设都在 上可积，且 试证：在任意可测子集上，有 证 由法图引理有 （3）同理有 运用性质，若 于是有 即 （4）综合（3），（4）得 所以 2.3 勒贝格控制收敛定理2.3.1勒贝格控制收敛定理及证明设为可测集，为上的一列可测函数，是上的非负勒贝格可积函数，如果对于任意的自然数,，则 (1) (2) 证明 (1)由设是上一列可测函数，则 也在上可测，特别当存在时，它也在上可测的定理可知在上可测且,由 定理 设是上的可测函数，是上的非负勒贝格可积函数且,则也在上勒贝格可积且 可知在上勒贝格可积，每个也在上
9、勒贝格可积.令，则在上非负勒贝格可积， 因而.由法图引理知 所以，由于，故，即 (2)因为 所以 即 2.3.2 适用条件 （1） 勒贝格控制收敛定理中，控制函数可积性的条件是不可少的. 取， 设控制的函数为，则必有显然在上是不可积的，此时，的极限函数，在上也是不可积的.2.3.3 勒贝格控制收敛定理的应用 与其他收敛定理比较，控制收敛定理显得复杂些，其应用价值也更大，甚至可以说，控制收敛定理在一定程度上代表了实变函数论方法的力量. 例3 求 解 以记被积函数，易见，于是形式上得 （5） 但是，以上演算的关键步骤（积分与极限交换），却不能从微积分学中找到简单的依据；否则，实变函数论就派不上用场了.现在来用控制收敛定理，若，则 ，若，则 若 令则在上，由与知，于是，由控制收敛定理保证式（5）为真.3. 列维定理，法图引理，勒贝格控制收敛定理之间的关系3.1法图引理与列维定理的关系 由于函数列满足法图引理，故有 （6）又由于及都是递增的，故它们的极限都存在，于是由（6）得到 （7） 另一方面，由函数列的递增性；对每一个自然数n,有 故 从而有 （8）合并 （7），（8）即得 3.2 列维定理与勒贝格控制收敛定理的关系 由条件可知， 于是由在上的可积性知在上可积，令 于是是上递减可测函数列，并且 又由于是控制函数，故对于任何自然数,有 所以
