《2020年高考数学二轮复习（上海专版） 专题15 数形结合思想（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学二轮复习（上海专版） 专题15 数形结合思想（解析版）.docx（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题15 数形结合思想专题点拨数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；构建立体几何模型研究代数问题；构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；构建方程模型，求根的个数；研究图形的形状、位置关系、性质等(2)数形结合思想是解答高考数学试题
2、的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：准确画出函数图像，注意函数的定义域；用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；精心联想“数”
3、与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解例题剖析一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例1】若方程x24x3m0在x(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果原方程可化为(x2)21m(0x3)，设y1(x2)21(0x3)，y2m，在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示)由原方程在(0，3)内有唯一解，知y1与y2的图像只有一个公共点，可得m的取值范围是(3，01【变式训练1】 已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围为_【答案】(0，1)【解析】函数f(x)，画
4、出其图像如图所示又由函数g(x)f(x)m有3个零点，知yf(x)与ym有3个交点，则实数m的取值范围是(0，1). 【例2】若实系数一元二次方程x2ax2b0有两个根，一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，求：(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；(3)(a1)2(b2)2的值域【解析】可将看作点(a，b)和(1，2)连线的斜率，而(a1)2(b2)2表示点(a，b)与定点(1，2)之间的距离的平方方程x2ax2b0的两根在区间(0，1)和(1，2)上的几何意义分别是：函数yf(x)x2ax2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1)和(1，2)内，且x1
5、x22b0，由此可得不等式组在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为ABC(不包括边界)由解得A(3，1)，由解得B(2，0)，由解得C(1，0)(1)ABC的面积为SABC|BC|h(h为A到Oa轴的距离)(2)几何意义是点(a，b)和点D(1，2)连线的斜率kAD，kCD1，由图可知kADkCD，1，即.(3)(a1)2(b2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1，2)之间距离的平方，由图可知，当取点C(1，0)时有最小值8，当取点A(3，1)时有最大值17，(a1)2(b2)2的值域为(8，17)二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的
6、应用【例3】若x，y满足约束条件则的最大值为_【答案】3【解析】作出约束条件确定的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A与原点连线的斜率最大联立，解得A(1，3)，所以的最大值3.【例4】设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则函数yg(x)f(x)x的零点个数为_【答案】3【解析】将函数方程进行等价变形，转化为两函数在某个范围内有相等的解的问题，再利用函数的图像进行解决由f(4)f(0)，得164bcc.由f(2)2，得42bc2.联立两方程解得：b4，c2.于是，f(x)在同一直角坐标系内，作出函数yf(x)与函数yx的图像，知它们
7、有3个交点，进而函数亦有3个零点【例5】若方程lg(x23xm)lg(3x)在x(0，3)内有唯一解，求实数m的取值范围【解析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决原方程变形为即设曲线y1(x2)2，x(0，3)和直线y21m，图像如图所示由图可知：当1m0时，有唯一解，m1；当11m4时，有唯一解，即3m0.综上可知，实数m的取值范围是m1或3m0.三、数形结合思想在平面解析几何中的应用【例6】已知直线yx2与圆x2y24x30及抛物线y28x依次交于A、B、C、D四点，则|AB|CD|等于() A10 B12 C14 D16【答案
8、】C【解析】直线yx2恰好经过抛物线y28x的焦点F(2，0)且x2y24x30的圆心坐标为(2，0)，半径为1，则有|AD|AB|CD|2R|AB|CD|AD|2R.由x212x40，知|AD|xAxD416，|AB|CD|16214，故选C.巩固训练1 已知x，y满足约束条件，则zx2y的最大值是_【答案】5【解析】约束条件，表示的可行域如图中阴影部分所示：目标函数zx2y，即yx，平移直线yx，可知当直线yx经过直线3xy50与x3的交点(3，4)时，zx2y取得最大值，为zmax3245.2设奇函数f(x)在(0，)上为单调递增函数，且f(2)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为_
9、【答案】(，2)(2，)【解析】由f(x)f(x)，xf(x)f(x)0.画出f(x)的简图，如图所示，可知xf(x)0的解集为(，2)(2，)3.已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为_【答案】(，1)【解析】定点Q(2，1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y1和抛物线y24x的交点，解得这个点的坐标是(，1)4 若x时，不等式(x1)2logax恒成立，则实数a的取值范围为_【答案】(1，2【解
10、析】设g2，flogax，要使当x时，不等式(x1)2logax恒成立，只需g(x)(x1)2在(1，2)上的图像在f(x)logax的下方即可当0a1时，如图，要使在(1，2)上，g(x)(x1)2的图像在f(x)logax的下方，只需g(2)f(2)，即(21)2loga2，loga21，1a2.a的取值范围是(1，25 已知函数f(x)若|f(x)|ax，则实数a的取值范围是_.【答案】2，0【解析】由y的图像知：当x0时，yax只有a0时，才能满足ax. 当x0时，y|x22x|x22x. 故由|f(x)|ax得x22xax.当x0时，不等式为00成立当x0时，不等式等价于x2a. x
11、22，a2.综上可知：a2，0. 二、选择题6若不等式logaxsin2x (a0，a1)对任意x(0，)都成立，则实数a的取值范围为() A(0，) B(0， C，1) D(，1)【答案】C【解析】记y1logax，y2sin2x，原不等式相当于y1y2，作出两个函数的图像，如图所示，知当y1logax过点A(，1)时，a，所以当ay2.7已知yf(x)是最小正周期为2的函数，当x1，1时，f(x)x2，则函数yf(x)(xR)图像与y|log5|x|图像的交点的个数是() A8 B9 C10 D12【答案】C【解析】因函数yf(x)(xR)与y|log5|x|均为偶函数，故研究它们在y右侧
12、交点情况即可作函数图像如图所示，从图可知，当0x5时没有交点，故在y右侧交点个数为5，由对称性知，在y轴左侧交点个数也是5.则两个函数图像交点个数为10个三、解答题8.已知函数f(x)是偶函数，直线yt与函数f(x)的图像自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若，求实数t的值【解析】由函数f(x)是偶函数可知f(x)f(x)，当x0时，f(x)a(x)22(x)1ax22x1f(x)x2bxc，故a1，b2，c1，则f(x)，由函数图像可知：当x0时，解得x1，故C点坐标为(1，t)，当x0时，解得x1，故A点坐标为(1，t)，B点坐标为(1，t)因为可知，222，得t.新题速递1(2019闵行区一模)已知函数，的值域为，则的取值范围是 【分析】写出分段函数解析式，作出图形，数形结合得答案【解答】解：数作出函数的图象如图：由图可知，则，故答案为：，2(2020奉贤区一模)已知直线上有两个点，、，已知、满足，若，则这样的点有 个【分析】依题意，向量的夹角为或，作图容易得出结论【解答】解：设，则夹角为或，如下图，当关于对称时，则，故(这是一个临界值)，此时有一个点，根据对称性，在，上下移动过程中，既要保持，又要保持，这样的点上下各有一个，故一共有三个点故答案为：3
