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1、 陕西理工学院课程设计 有限长序列线性卷积计算方法物电学院电信082班顾志龙1.有限长序列线性卷积原理1.1序列卷积的定义设给定两个有限长序列xk、yk;则xk*yk= 为两个序列的线性卷积。例：给定两个序列xk_=(1/2)k yk_=(-1/5)k 求它们的卷积。解：zk_xk_* yk_10/7(1/2)k+1-(-1/5)k+1)k;用mathematica软解求解，程序如下：Clearx,y,k;(*clear变量名x,y,z*)k_=UnitStepk;(*单位阶跃函数*)xk_=(1/2)kk;yk_=(-1/5)kk;p1=Tablek,xk,k,0,50,1;（*在直角坐标系
2、中画出p1的散点图，要求图形为蓝色；显示所有值的平面曲线图形；显示图形高度与宽度之比为1/4*）p2=Tablek,yk,k,0,50,1;ListPlotp1,Filling1Axis,Blue,PlotRangeAll,AspectRatio1/4ListPlotp2,Filling1Axis,Blue,PlotRangeAll,AspectRatio1/4运算结果如下： 1.2圆周卷积 圆周卷积的定义要求：两个序列一样长；假设两个序列可以作周期延拓而形成周期序列。 例：线性卷积解答：例：已知两个序列x=7,2,3,2,1、y=1,-2,3,-4,5,2,1；求它们的卷积用mathemat
3、ica软解求解：程序如下 Clearx,y,z;（*clear变量名x,y,z*）x=7,2,3,2,1;L1=5;y=1,-2,3,-4,5,2,1;L2=7;L=L1+L2-1;z=7,2,3,2,1.1,-2,3,-4,5,2,1,0,0,0,0,0,1,-2,3,-4,5,2,1,0,0,0,0,0,1,-2,3,-4,5,2,1,0,0,0,0,0,1,-2,3,-4,5,2,1,0,0,0,0,0,1,-2,3,-4,5,2,1第一种计算方法：ListConvolvex,y,1,-1,0(*直接计算出x,y的卷积*)运行结果如下：Out87= 7,-12,20,-26,33,16,
4、21,14,12,4,1第二种计算方法：ListPlotPadRightx,L1+L2-1,FillingAxis,AspectRatio1/5（*在直角左边系中画出长度为L1+L2-1的x的散点图，要求覆盖坐标系并且图形高度与宽度比为1/5*）ListPlotPadRighty,L1+L2-1,FillingAxis,AspectRatio1/5ListPlotz,FillingAxis,AspectRatio1/5运行结果如下：Out5= 7,-12,20,-26,33,16,21,14,12,4,1 结论： 由圆周卷积的定义可知：序列的L是一样长的，且这个长度是由人为规定的；圆周卷积的第
5、二个序列每一行的长度由L决定，它的行数与第一个序列的元素相等。用圆周卷积的方法解答：规定L=6时；程序如下：Clearx,y,z;（*clear变量名x,y,z*）x=7,2,3,2,1;y=1,-2,3,-4,5,2,1;L=6;xc=PadRightx,L;yc=PadRighty,L;zc=7,2,3,2,1.1,-2,3,-4,5,2,2,1,-2,3,-4,5,5,2,1,-2,3,-4,-4,5,2,1,-2,3,3,-4,5,2,1,-2;ListPlotPadRightx,L,FillingAxis,AspectRatio1/5ListPlotPadRighty,L,Filli
6、ngAxis,AspectRatio1/5ListPlotzc,FillingAxis,AspectRatio1/5运行结果如下：2.3快速傅立叶变换： 线性卷积不可用快速傅立叶变换计算；但是圆周卷积可以用快速傅立叶变换。所以线性卷积必须先转换为圆周卷积后才可以进行快速傅立叶变换。 根据时域循环卷积定理，x(n)与y(n)的线性卷积可以用循环卷积来代替。给出了一个基于快速傅里叶变换(FFT)的卷积的实现方法，如图1所示。分别对补零后的x(n)和y(n)进行FFT运算，得到对应的频域响应X(k)和Y(k)，将X(k)和Y(k)相乘的结果再做IFFT，即可以得到x(n)和h(n)的卷积结果y(n)
7、。 FFT x(k) XXXXX X(K)IFFT Z(k) z(k)FFT y(k) Y(k) 有限长序列线性卷积框图用mathematica软解求解：当序列的长度较小时：Clearx,y,z,xc,yc,zc,XC,YC,ZC; (*clear变量名x,y,z,xc,yc,zc,XC,YC,ZC*)x=TableRandom,k,1,2;（*产生一个表随机给出闭区间0,1内的实数，k在（1,2）之间变化*）y=TableCos/26 (k-1),k,1,10/N;（*产生一个表通项公式Cos/26 (k-1)，k在（1,10）之间变化*）L1=Lengthx;（*计算x的长度*）L2=Le
8、ngthy;d=0,0,0,3600,60,1;(*线性卷积*)t1=Date;z=TableSumxm+1If0=k-m=L2-1,yk-m+1,0,m,0,L1-1,k,0,L1+L2-2;（*对x,y用定义法进行卷积运算*）t2=Date;dt1=(t2-t1).d;（*定义法计算卷积耗时为dt1*）Print 按定义计算耗时:,dt1,秒;t3=Date;L=L1+L2-1;xc=PadRightx,L;yc=PadRighty,L;XC=Fourierxc,FourierParameters1,-1;(*对xc进行傅里叶变化*)YC=Fourieryc,FourierParamete
9、rs1,-1;ZC=XC YC;zc=FourierZC,FourierParameters-1,1/Chop;（*对ZC进行傅里叶逆变化*）t4=Date;dt2=(t4-t3).d（*用傅里叶变化计算卷积耗时dt2*）Print 按定义计算耗时:,dt2,秒;p=dt1/dt2pic1=ListPlotz,FillingAxis,PlotStyleRed,PointSize0.005 (*在直角坐标系中画出z的散点图，输出曲线为红色的点，且点的大小为0.005*)pic2=ListPlotzc,FillingAxisShowpic2,pic1（*在坐标系中显示pic2、pic1的图形*）z
10、-zc/Chop（*求z-zc的值/误差*）运行结果如下：按定义计算耗时 : 0.0010001秒 按定义计算耗时 : 0.0020002 秒 0.5000 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0当序列的长度较大时：Clearx,y,z,xc,yc,zc,XC,YC,ZC;(*clear变量名x,y,z,xc,yc,zc,XC,YC,ZC*)x=TableRandom,k,1,1000;（*产生一个表随机给出闭区间0,1内的实数，k在（1,2）之间变化*）y=TableCos/26 (k-1),k,1,2000/N;（*产生一个表通项公式Cos/26 (k-1)，k在（1,10）之间变化*
11、）L1=Lengthx;（*计算x的长度*）L2=Lengthy;d=0,0,0,3600,60,1;(*线性卷积*)t1=Date;z=TableSumxm+1If0=k-mL2-1,yk-m+1,0,m,0,L1-1,k,0,L1+L2-2;（*对x,y用定义法进行卷积运算*）t2=Date;dt1=(t2-t1).d;（*定义法计算卷积耗时为dt1*）Print 按定义计算耗时:,dt1,秒;t3=Date;L=L1+L2-1;xc=PadRightx,L;yc=PadRighty,L;XC=Fourierxc,FourierParameters1,-1;(*对xc进行傅里叶变化*)YC
12、=Fourieryc,FourierParameters1,-1;ZC=XC YC;zc=FourierZC,FourierParameters-1,1/Chop;（*对ZC进行傅里叶逆变化*）t4=Date;dt2=(t4-t3).d（*用傅里叶变化计算卷积耗时dt2*）Print 按定义计算耗时:,dt2,秒;p=dt1/dt2pic1=ListPlotz,FillingAxis,PlotStyleRed,PointSize0.005(*在直角坐标系中画出z的散点图，输出曲线为红色的点，且点的大小为0.005*)pic2=ListPlotzc,FillingAxisShowpic2,pic1（*在坐标系中显示pic2、pic1的图形*）z-zc/Chop（*求z-zc的值/误差*）运行结果：按定义计算耗时 : 28.4876294 秒 按定义计算耗时 : 0.0070004 秒 4069.40,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,029320,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0故：由以上比较可知：当序列的长度较短时，用其定义解法花费的时间较短；当序列的长度较长时，用快速傅里叶解法花费的时间较短。第 2 页 共 5 页
