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1、第一章 绪论1设x 0, x的相对误差为，求In x的误差解：近似值x*的相对误差为e*x* xx*x*而In x的误差为e In x*In x* Inx1x*e*进而有 (In x*)2设x的相对误差为2%求xn的相对误差。xf ( x)解：设f(x) xn，则函数的条件数为 Cp |f(x)n 1又Q f (x) nxn1,Cp | x nx | nn又Q r(x*) n) Cp r(x*)且 er (x*)为 2r(x*)n)0.02 n3 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x； 1.1021 , x； 0.031 ,x；
2、385.6x456.430, x*7 1.0.解：X； 1.1021是五位有效数字；x；0.031是二位有效数字；X3385.6是四位有效数字；x456.430是五位有效数字；X；7 1.0.是二位有效数字。, * * *4利用公式求下列各近似值的误差限：(1) x1 x2 x4 ,(2) x1 x2x3 ,(3)x2 / x4.其中x*,x2,x3,x4均为第3题所给的数。解:*14(X1)210*1,亠3(X2)210*11(X3)210*1,亠3(X4)210*11(X5)102(1) (X1*(X1)1 1021.05 10X2 X4)*(X2)412310(X4)3X2X3* * *
3、X1X3 (x2)(2) (x；x；x；)* * *X1X2 (X3)1.1021 0.03110110.031 385.6 -1041.1021 385.6100.215(X；/X；)* I*X2I (X4) X4 (X2)n&0.0311 31310 3 56.43010 32 210 3则何种函数的条件数为Cpr(V*) Cpg r(R*)3 r(R*)又 Q r(V*)156.430 56.4305计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少?Rg/V1故度量半径R时允许的相对误差限为r（R*）-36设丫0 28，按递推公式 Yn 丫 7831001 0.33(n
4、=1,2,)计算到丫00。若取.78327.982 （ 5位有效数字），试问计算Yoo将有多大误差?1 解：QY, Yn 1.7831001 论0 丫99 “亦1001 丫987831001 ,丫97V 783100丫99丫981丫0 100茨依次代入后，有00绻100即丫。Y）砲，若取,78327.982，丫100（丫0。）（丫0）(27.982)14 3Y00的误差限为一10 。丫1Yo 27.9827 求方程X211031 78310056x 10的两个根,使它至少具有4位有效数字（78327.982 ）。故方程的根应为X1,228、783故 X128783 2827.98255.982
5、x1具有5位有效数字x228、78328、78328 27.9820.01786355.982X2具有5位有效数字、 1&当N充分大时，怎样求2 dx ?N 1 x2pdx arctan(N 1) arctanN xarcta n(N 1),arctan N。则 tan N 1,tanN.1 11 x2dxarcta n(ta n()丄 tan tan arctan1 tan gtan丄 N 1 N arctan1 (N 1)Narctan亍N2 N 19.正方形的边长大约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2 ?解：正方形的面积函数为A（x） x2(A1 * 2g(t)(t
6、*) ) 2A*g (x*).当 x* 100时，若（A*）1,1 2则（x*）1022故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm210.设S 1gt2，假定g是准确的，而对t的测量有 0.1秒的误差，证明当t增加时S的 绝对误差增加，而相对误差却减少。1 2解：QS -gt2,t 02(S*) gt2g (t*)当t *增加时，S*的绝对误差增加r(S*)(S*) S*gt2g (t*)当t*增加时，（t*）保持不变，则 S*的相对误差减少。11序列 y 满足递推关系yn I0yn 1 1 （n=1,2,），若y0,2 1.41 （三位有效数字），计算到y10时误
7、差有多大？这个计算过程稳定吗?解：Q y02 1.411 2（yo*） 102又Q yn 10yn 1 1y1 10 y0 1S) 10 (y。*)又 Q y210%1(y2*) 10 S)(y2*) 102 (y。*)10(Y10*) 10 (y*)1010 1 10221 10821计算到ye时误差为? 108，这个计算过程不稳定。12计算f C-.2 1）6，取 .2，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?1(/2 1)6(32)3,1,99 70、2 。(3 2.2)3解：设 y (x 1)6, *I若 x .2 , x 1.4，贝Ux102若通过（,，21）6计算y值，则1(x1)
8、76 * *7 y x (x 1)若通过(3 2.2)3计算y值，则4* 2(3 2x ) g x若通过(33计算y值，则2 .2)31(3 2x)41 *7 y x (3 2x)通过 3计算后得到的结果最好。(3 2、2)313. f (x) In(x. x2 1),求f (30)的值。若开平方用 6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(xx2 1) ln(x . x2 1)计算，求对数时误差有多大？解Q f(x) ln(x Jx2 1), f (30) In(30 7899)设 u .899, y f (30)则u*(xXj(xX2)(X。X1)(XX2)(xX0)(X
9、X2)(X1X0)(XX2)(xX)(XX1)(X2X)(X2X1)l(x)h(x)l2(x)则二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)yk(x)k 0X2X/V1 - 22)(X4 - 31-3I-g u0.01673若改用等价公式ln(x 、_) ln(x -_)则 f (30)In(30. 899)此时，* *y uu1 *u59.98337第二章插值法1当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4 ,求f (x)的二次插值多项式。解：x0 x1 1, x2 尹 1)(x 1)f(x。) 0,f(xj3,f(X2) 4;1(x 1)(x 2)21(x 1)(x 2)62.给出f(x) lnx
10、的数值表XInx用线性插值及二次插值计算 In0.54的近似值。 解：由表格知，x00.4, x10.5, x20.6, x3 0.7, x4f(x。)0.916291, f (x1)0.693147f(X2)0.510826, f (x3)0.356675f(X4)0.223144若采用线性插值法计算In0.54即f (0.54),则 0.5 0.54 0.6h(x)XXIX2X210(x0.6)l2(x)XX2X1X110(x0.5)Li(x)f(xjli(x) f(X2)2(x)6.93147(x 0.6) 5.10826( x 0.5)L1 (0.54)0.62021860.62021
11、9l(x)(xXj(xX2)(X。X1)(XX2)h(x)(XX0)(XX2)(X1X0)(X1X2)若采用二次插值法计算In0.54时,50( x 0.5)(x 0.6)100(x 0.4)( x 0.6)l2(x) (x x0)(x x1)50(x 0.4)(x 0.5)(X2 X0)(X2 X1)L2(x)f(x)l(x) f(X1)h(X) f(X2)2(X)50 0.916291(x 0.5)(x0.6) 69.3147( x 0.4)(x 0.6) 0.510826 50(x 0.4)(x0.5)L2(0.54)0.615319840.615320(1/60),若函数表具有5位有效
12、数字，研3.给全cosx,0 x 90o的函数表，步长h 1究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有 5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当 0o x 90 时,令 f (x) cosx取Xo1 10,h (60r 60 面而00令 xx0 ih,i 0,1,.,5400则x5400290当xXk,xki时，线性插值多项式为Li(x) f(Xk)x xk1f(xki) x xkxk xk 1xk 1 xk插值余项为R(x) cosx L1(x)12 f ( )(x xk)(x xk1)又Q在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx 0,1 ，故计算中有误差传播过程。*
