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1、前言由于计算机的普及，科学计算已成为各学科领域的一项重要工作。学习和掌握数值计算方法的基本原理及应用已成为现代科学工作者不可缺少的一个环节。用计算机解决科学计算问题需经历几个过程：由实际问题建立数学模型，根据数学模型提出求解的数值计算方法，编出程序、上机求出结果。通过以上过程，可以看出，数值计算方法 是计算机、数学和应用科学之间的桥梁，是程序设计和对数值结果进行分析的依据，是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。目前，数值计算方法已经成为理工科院校（非数学专业）硕士学位研究生的学位课。在农业科学研究中，数值计算方法已经成为不可缺少的有力工具。学生通过本课程的学习，能掌握科学计算中常用的算法
2、，能独立地用学过的算法编程，测试。并能解决工作中遇到的实际问题。本教材同时也适当增加一些只供阅读，而不在课堂教授的内容，这样在规定的课时内可完成基本内容的讲授，又可以作为今后科研的参考书。各章节要点及授课时数本教材的特点：对现有的已知的数学模型建立起相应的一系列数值求解方法，力求设计计算量小、存储量少、精度高，特别是计算机所能接受且执行计算方法，兼顾分析方法的收敛性、稳定性及误差估计。在不失科学性的前提下，尽量做到深入浅出地介绍计算机上常用的数值方法，使学生能用数值计算方法对建立的数学模型实际求解。本教材既坚持介绍数值计算方法基本原理，又兼顾应用学科的特点，这是现有教材所不具备的。使用范围：理
3、工科非数学学科公共专业课教材。本教材主要介绍计算机上常用的各种数值计算方法以及相关的基本概念及理论。内容包括误差分析初步，方程求根，线性方程组的直接解法与迭代法，插值法，最小二乘曲线拟合，数值积分计算，常微分方程数值解法和偏微分方程数值解法。本课程中对主要基本算法的推导、构造原理、收敛性、误差估计进行了讨论。本教材的另一个特色是侧重于计算机应用，各章均有例题及数值算例，并指出应掌握的基本问题，对每一个算法都给出伪代码，以便于学生编制程序的需要，且有适当的书面练习及一些上机计算题。本教材可作为理工科（非计算数学）各专业研究生及大学本科高年级的数值计算方法教材，也可供工程技术人员参考。作者从事硕士
4、研究生学位课数值计算方法教学已经30余年，在多年的教学中发现给农业院校的学生寻找一本合适的教材很难。一方面，和其它理工科院校的学生相比，农业院校的学生数学基础课学得不够，因此需要浅显易懂的教材；另一方面，农业科学的发展，对数学和计算科学提出了很高的要求，因为农业科学的复杂性和不确定性，需要有尽可能多的内容和深度，这样互相矛盾的需求给讲课教师提出了很高的要求，教师要深入的理解数值计算的理念，要有深厚的计算数学理论知识和计算经验才能讲好这门课。在学习了许多国内外教材的基础上，根据农业院校学生的特殊要求，作者于1984年编写了数值计算方法讲稿，每年都有小的改动，在1993年、1999年、2005年和
5、2009年对讲稿进行了几次较大的修改，以适应科学发展需要和农大学生的基础。许多研究生通过学习，在毕业论文中引用了数值计算方法解决应用问题，提高了论文水平，也有许多在职教师和科研人员学习这门课程后，将数值方法引用到科研课题中，取得了较好的成果。目录第一章 预篇 1.1 数值计算方法的研究对象和特点 1.2 误差分析 1.3 算法的概述第二章 非线性方程求根 2.1 二分法 2.2 迭代法的一般原则 2.3 牛顿法(切线法) 2.4 弦截法第三章 解线性方程组的直接法 3.1 Gauss 消去法 3.2 矩阵的三角分解及其在解方程组中的应用 3.3 解对称正定矩阵方程组的平方根解法 3.4 解三对
6、角方程组的追赶法 3.5 向量和矩阵的范数 3.6 方程组的性态、条件数第四章 解线性方程组的迭代法 4.1 Jacobi 迭代法 4.2 Gauss-Seidel 4.3 SQR 方法 4.4 迭代法的收敛性 4.5 共轭梯度法 4.6 最小二乘法第五章 矩阵特征值问题的计算方法 5.1 矩阵特征值问题 5.2 乘幂法和反幂法 5.3 Household方法 5.4 QR方法第六章 函数插值 6.1 Lagrange 插值 6.2 Newton 插值 6.3 等距节点的插值 6.4 Hermite 插值 6.5分段低次多项式插值 6.6 三次样条插值第七章 最佳平方逼近 7.1 正交多项式
7、7.2 切比雪夫多项式 7.3 曲线拟合的最小二乘法第八章 数值积分 8.1 Newton-Cotes 求积公式 8.2 Romberg 求积公式 8.3 Gauss 型求积公式第九章 常微分方程数值解 9.1 Euler 法和改进 Euler 法 9.2 Runge-Kutta 法 9.3 线性多步法 9.4 解二阶常微分方程边值问题的差分法第十章 偏微分方程数值解 10.1 椭圆型方程差分法 10.2 抛物型方程差分法 10.3 双曲型方程差分法 10.4 有限元方法初步第一章 预篇数学是研究数与形的科学。其中研究怎样利用手指、算盘、计算尺、计算器、计算机等工具，来求出数学问题数值解的学问
8、，就是数值计算方法。它是数学中最古老的部分，但只是在计算机出现以后，人们获得了高速度、自动化的计算工具，才为众多浩繁的数值问题的解决展现了光明的前景。从此，科学研究与工程设计的手段，发生了由模型试验向数值计算的巨大转变。近年来，由于计算机的发展，计算性的学科新分支，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算经济学以及众多工程科学的计算分支纷纷兴起。因为任何具体学科中的计算过程，不论其目的、背景和含义如何，终归是数学的计算过程，数值计算方法是各种计算性学科的联系纽带和共性基础。学习数值计算方法可以知道如何用计算机解决数学问题，特别是我们在微积分和线性代数中没有学过的一些解决问题
9、的方法，还介绍一些用不同的方法解决以前用传统的数学方法解决的问题。我们选择一些现实世界存在的例子，用解析的方法能够解出来，以便将数值方法和解析方法做一个对比。1.1 数值计算方法的起源和意义计算方法是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是计算问题。人类社会发展的初期，就常常遇到各种各样的计算问题。一开始没有任何计算工具，最得心应手的就是人类的一双手了。于是人们采取了扳手指头和结绳计数的方法进行计算。随着社会的进一步向前发展，问题越来越复杂，原始的工具不敷使用。人们越来越迫切地希望有更先进的技术和理论来进行计算，于是数学应运而生。可以这么说，记数术是最原
10、始的数学，数学的源头就是计算，计算自古以来就是数学的一个重要组成部分。中国古代数学曾经有过辉煌的成就，它不像古希腊数学那样注重逻辑和推理，而是具有显著的计算性和实用性的特点，从九章算术等中国古典数学名著中就可以看出这一点。早在商代中国就形成了十进制这一方便的计数和运算机制。从最早发明的算筹到后来的算盘以及相应发展起来的珠算方法，是古代中国对世界计算技术的最重要贡献，至今还在中国和其他一些国家都发挥着作用。到了二十世纪四十年代，生产高性能计算工具的技术条件已经成熟。当时适逢第二次世界大战，军事上对高速计算机有迫切的需求。这就迎来了世界上第一台电子计算机的诞生。计算机的问世，从根本上改变了计算工具
11、落后的局面。古老的计算数学借助计算机这一强有力的工具，一下子换发出了青春。随着计算技术的发展，社会需求的急剧增加，计算数学的应用领域越来越广泛，这就使得越来越多的、以前不能设想的、难度和规模日益增大的计算问题得以解决。在这样新的条件下，计算在整个科学技术以至经济生活中的重要性得到前所未有的提高；同时，以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学开始形成并迅速发展。计算数学和计算机一起已经成为众多领域研究工作中不可或缺的工具和手段。当代计算能力的大幅度提高既来自计算机的进步，也来自计算方法的进步。计算机和计算方法的发展是相辅相成，相互制约和相互促进的。计算方法的发展启发了新的计算机体
12、系结构，而计算机的更新换代也对计算方法提出了新的标准和要求。自计算机诞生以来，经典的计算方法业已经历了一个重新评价、筛选、改造和创新的过程；与此同时，涌现了许多新概念、新课题和许多能够充分发挥计算机潜力、有更大解题能力的新方法；这就构成了现代意义下的计算数学（数值计算方法）。1.2 数值计算方法的研究对象科学计算问题的出发点，往往是研究现实世界中的问题或现象。例如：物理、自然或者社会问题。在一定的假设下，可以将这些实际问题列成方程，也就是数学模型来描述或进行分析。从简单的代数方程到复杂的非线性偏微分方程应有尽有。这些方程一旦建立起来，下一步就是要解方程，以预测这些现象将来朝什么方向发展。为了获
13、取数据，我们也需要做一些实验。如果模型预测的结果和实测数据一致或接近，就认为所建立的模型是合适的，否则就要对所建立的模型加以调整和改进。在求解阶段，最理想的状况是求出方程的解析解，遗憾的是，仅对最简单的模型才能求出解析解。我们通过几个例子来说明在微积分和线性代数中学过的数学模型而在这两门课程中所没有学到可行的解法。例1.1 求解线性方程组AX=b，其中系数矩阵A是的方阵，设n = 20；解：本例的行列式。按照Gramer法则，此方程的解为：。如解n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，每个行列式按Laplace 展开计算，总共需要做（n+1）n! 次乘法运算。本题n=20, 需要进行以上
14、的乘法运算。设用每秒可做一亿次乘法的计算机，一年可以做次乘法。所以在此计算机上用Gramer法则解20阶的线性方程组，需要的时间在万年以上。这当然是没有实际意义的。例1.2 求超越方程 和 的根例1.3 不用计算器，求的近似值。x149123例 1.4 计算定积分 例1.5在7块并排、形状大小相同的试验田上施化肥对水稻产量影响的试验，得到如下表所示的一组数据（单位：kg） 施化肥量 x 15202530354045水稻产量 Y330345365405445450455求施肥和产量的关系。例1.6 研究对象是连续的，我们只能了解到其有限个数据温度的变化，时间是连续的，温度是时间的函数，如何画出温度的曲线图？大量的根据实际问题所建立的模型只能求出近似解，也就是用“逼近”技术求出问题的解。本书的目的就是设计一些算法，对可以用数学模型描述的现实世界的现象求出近似解（数值解）。用计算机解决科学计算问题需经历几个过程：由实际问题建立数学模型，根据数学模型提出求解的数值计
