《第十五章整式的乘除及因式分解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十五章整式的乘除及因式分解（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、深度理解三个或三个以上同底数幕相乘也适用此法则。当然，am n = am an .思维拓展幕的乘方也可逆用：a mn = (a n )m (am )n思维拓展积的乘方也可推广到三个以上：(abcd)nanbncnd n语言表述：积的乘方等于积中各因式乘方的积;第十五章 整式的乘除与因式分解知识概念图表】知识要点(定义、公理、定理、公式、法则)()整式的乘法1. 同底数幂的乘法式子表示：am an = am n (m、n都是正整数);语言表述：同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数 不变，指数相加；2. 幂的乘方式子表示：(am)n = amn (m、n都是正整数)；语言表述：幕的乘方法则：幕的
2、乘方，底数不变，指数相 乘；3. 积的乘方式子表示：(ab)n = an bn (n是正整数)；4. 整式乘法单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幕分 别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式。 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多 项式的每一项，再把所得的积相加。用式子表示： a（b+c+d）二ab+ac+ad; 多项式与多项式相乘，先用个多项式的母项乘另外 个多项式的每一项，再把所得的积相加。（二）乘法公式1. 平方差公式式子表示：（a + b）（a b）a2 b2；语言表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数 的平方之差；2. 完全平方公式式子表示：（ab
3、）2 a22ab+b2；语言表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍；3. 添括号法则式子表示：a+b+c=a+（b+c），a b c=a （b+c）;语言表述：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里 面的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里面 的各项都要改变符号。（三）整式的除法1.同底数幂的除法易错警示：要防止“漏乘”问题， 尤其是要防漏乘常数 项。思维拓展乘法公式中的字母a、b、 c可以是数字，也可以 是单项式，还可以是多 项式。式子表示：am十anam n ；语言表述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；2. 零指数幕的意义式子表示：a0l(
4、afO);语言表述：任何非零数的零次幂都等于1；3. 单项式除法法则两个单项式相除，就是它们的系数、同底数的幂分别相除 作为商的因式，而对于那些只在被除式里出现的字母，连 同它们的指数一起直接作为商的因式，对于只在除式里出 现的字母，连同它们的指数的相反数一起作为商的因式。4. 多项式除以单项式个多项式除以一个单项式，先把这个多项式的每一项除 以这个单项式，再把所得的商相加。(四)因式分解1因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这 种变化叫做把这个多项式分解因式。2.因式分解的方法(1)提取公因式法公因式：多项式各项都含有的因式叫做多项式的公因式。公因式的确定方法：系数部分：取多项式各
5、项系数的最大公约数；字母部分：取多项式各项都含有的相同字母(或多项式因式)的最低次幂的积。用式子表示：ma+mb+mc-m(a+b+c).m即是公因式。(2) 公式法就是逆用乘法公式来分解因式。逆用平方差公式：a2 b2=( a +b)( a -b)；逆用完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2。(3) 十字相乘法就是形如X2 (p q)x pq型式子的因式分解：X2 (p q)x pq (x p) X q)。方法指引因式分解诀：提套分组，叉乘 求根也上数。五种方法 都不行，拆项添项去重 组，对症下药稳又准， 连乘结果是基础。【易混易错剖析】1.将同底数幂的乘法与整数加法相混淆，将同底
6、数幂的乘法与幂的乘方相混淆 典型示例：选择：下列运算正确的是( )A.a3a5aa3a12B.a3a5aa3a45C. (ab2 )3a3b6a6D.-a2a3E. (a3)4 a7常见错误：选A、B、D或E。解析点评：本题主要考查整式加法与同底数幂的乘法的区别、以及积的乘方、幂的乘方 和同底数幂的除法法则的简单应用A.a3 a5 a a3 a12，显然是左边四个单项式相加，那么只有同类项才可以合并，其他的项要照写下来，因而得a3 a5 a a3a5 2a3 a，而原选项等于了2，可能是a3 as a a3 a3 5 i 3 ai2，误认为 整式加法就是底数不变，指数相加，这是不对的；B. a
7、3 a5 a a3 a45，左边是同底 数幂相乘，根据法则，才是底数不变，指数相加，a3 a5 a a3 a3 5 1 3 a12，而 原结论是a45，估计是&3 a5 a a3 a3 5 1 3 a45导致的错误，所以B选项也不对；a6D.a3，左边是同底数幂相除，依据法则应是底数不变，指数相减，而原结论是指a2数相除，因而，D选项也是错误的；E. (a3)4 a7是幂的乘方，根据法则，底数不变， 指数相乘，所以应当等于a12，而这里估计是误认为是指数相加才得：(a3)4 a7,与 幂的乘方相混淆，所以E选项也是错误的；F.显然只有C选项(ab2)3 a3b6是正确的， 先用积的乘方法则得：
8、(ab2)3 a3(52)3，再用幂的乘方法则，底数不变指数相乘，得 (ab2)3 a3 G2)3 a3b6，计算无误，因而C是正确的。本题启示：i要将同底数幂乘法与整式加法区别开来，同时也要将同底数幂的乘法与幂 的乘方区分开来；ii解整式乘除法运算题，一定要遵循法则，切不可胡乱使用，当然， 前提是要高度熟练各项法则，有顺口溜可以帮助记忆：整式乘除并不难，各项法则要记 全，同底幂乘法指数加，同底幂除法指数减，幂的乘方指数乘，积的乘方也好办，先各 乘方再求积，运算顺序不会变。2.应用乘法公式时容易出错。乘法公式是中学非常重要的内容，可学生初学乘法公式时，在应用中总会出错。典型示例： 计算：(2a
9、 3b)( 3b 2a)；(x 2)2 ；L-i(3b)2 4a 2 3b2 。常见错误： 解： ( 2a 3b)( 3b 2a) ( 2a)2解：(x 2)2 x2(2)2x2解析点评：要让我们计算(2a 3b)( 3b2a)，能不能使用乘法公式呢？这要看它是否具备了平方差公式的特征。观察平方差公式：(a + b)(a-b)=a2_b2 ;两个二项式相乘，且在 这两个二项式中，有一项是相同的，而另一项恰好是相反的，结果是等于相同的那个数 (第一个数)的平方减去符号相反的那一个数(第二个数)的平方的差的。本题(2a 3b)( 3b 2a)中，显然是两个二项式的积，且相同的数是“ 3b”符号相反
10、的数是“ 2a ”，完全符合平方差公式的特征，因而可以使用公式，由于第一数是“ 3b ”， 而第二数才是“ 2a”因而原式应等于(3b)2(2a)2 9b2 4a2.本题启示：应用平方差公式时，要找准“第一数”和“第二数”，在两个因式中完全相 同的项就是第一数，符号恰好相反的项就是第二数，不可将被减数与减数搞错了位置。 要计算(x j)2，显然可直接用完全平方公式。但是千万要防止出现这样的错误： (a b)2 a2 b2 及(a b)2 a2 b2 或(a b)2 a2 2ab b2， 前二者都是掉了 一、二两数积的二倍这一项，且第二个还有符号问题，最后一个是错了最后一项的符号， 其实正确的公
11、式是：(a b)2 a2 2ab b2，就是说一个二项式的和或差的平方，是 等于这两个数的平方和再加上或减去这两数的积的二倍的。除了一、二两数的积的二倍这一项的符号是与前面二项式中第二项的符号一致外，其他两平方项的符号始终都是“+”所以原答案：（X2)2X2应该是：（X 2）2 X2(2)2(2)21X2玄是套错了公式，是不对的。正确的1X2 X4.本题启示：要记准记牢乘法公式，抓住这样几个特征：一是项数的特征；二是符号的特 征；三是指数的特征。3.分解因式题目中极易出现的错误。一类是未分解到理想的形式。要么未分到不能再分 的程度，要么是分解过了头。所谓“不能再分”就是将要出现无理式（根号下含
12、未知数 的式子）而又未出现无理式的时候。另一类是没有按照分解因式的思维顺序“一提二套 三分组”去思考去操作，导致分不下去或者分解出错。典型示例： 分解因式：(2x y)2 (x 2y)2 ； a 4 2b2 ； 4aXy 2ay2 2aX2 ； x2 (a b) y2 (b a)。常见错误： (2X y)2 (X 2y)2 (2X y) (X 2y)2(X y) (X 2y) (3X 3y)(X y) a4 2b2 (a2 v 2b) 2 v2b) (a2 J2b) a 4：2)6 4 2b); 4aXy 2ay2 2aX2 分不下去 ； x2(a b) y2 (b a) (a b)(x2 y
13、2 ).解析点评：本题错解过程是： (2x y)2 (x 2y)2 (2x y) (x 2y)2(x y) (x 2y) (3x 3y)(x y) 显然，最后未分解到位，因为前一个因式(3x 3y)还可以提取因数3,正确的答案应当是 (2x y)2 (x 2y)2 (2x y) (x 2y)2(x y) (x 2y) (3x 3y)(x y) 3(x y)(x y)； a4 2b2 (a2 72b) 2 v2b) (a2 J2b) a 4 2 4)6 42：b)过程中，出现了无理式，也是不对的，在实数范围内分解也只能到前一步，正确的过程是：a4 2b2(62 2b) 62 、2b)； 4axy
14、 2ay2 2ax2 分不下去，问题出在该生没有按照分解因式的思维顺序“一 提二套三分组”去思考去操作，导致分不下去或者分解出错。分解因式首先要考虑的就 是提取公因式法，如果说有公因式不先提取，变形过程既麻烦结果又容易出错，对于本题：4axy 2ay2 2ax2，分解时必须先提取公因式“2a ”得：4axy2ay22ax2 2a( 2xy y2x2 )，再运用公式来分解，可得：4axy2ay22ax2 2a( 2 xy y2x2) 2a(x y)2 。 x2 (ab)y2 (b a) (a b)(x2y2)本题的变形中出现了符号错误，本来ba(ab),并且应始终把这个项式作为一个整体去处理，那
15、么在这个变形中会产生一个负号，如何去处理这个负号非常关键，正确的过程是：x2 (ab)y2 (ba)x2 (ab)y2(a b)x2 (ab)y2 (ab) (a b) x2y2 )(a b)(x y)(x y)。本题启示：i分解因式的思维顺序是：“一提二套三分组”有公因式必先提取。其实， 有人归纳过分解因式的口诀是：“一提二套三分组，十字相乘也上数。四种方法都不行， 拆项添项去重组。重组无望试求根，换元或者算余数。多种方法灵活选，连乘结果是基 础。同式相乘若出现，乘方表示要记住。”；ii多项式分解因式要分解到每一个多项式因 式都不能再分解为止；iii对于互为相反的两个多项式，在分解过程中往往要看作一个整 体并且要统一符号，不仅b a (a b),而且对于指数不是2的情况也能统一，其规律是：G
