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1、 三角形特殊点研究吴贤盛 摘要：本文对三角形的一些特殊点的关系进行了一定的归纳整理，并用超级画板具体画出了这些点的位置关系，并对部分结果进行了理论证明。关键词：三角形特殊点、超级画板引言 本文主要利用超级画板对三角形的一些特殊点进行探究，总结出了一些常见的结论，并指出了网上的一些错误结论，用超级画板直接画图验证，就否定了原命题，体现了信息技术的优势。 为了让读者能够较快地读懂本文，首先对文章中出现的一些比较陌生的概念进行说明。1、 界心：分为第一界心、第二界心。第一界心是指ABC 中过顶点的分周线AD、B E、CF 相交于一点,该点称为第一界心，第二界心是指过各边中点的分周线相交于一点,称该点
2、为第二界心。2、 Nagel点：作出三角形旁切圆与各边的切点，依次连接各个顶点与对应边的切点，这三条线交于一点，称为Nagel点3、 Bevan点：在ABC中, 设JA、JB、JC分别为A、B、C的旁心，则过JA、JB、JC分别作BC、CA、AB的垂线共点V，称V为ABC的Bevan点4、Gergonne点：ABC 内切圆切三边于D、E、F , 则AD、B E、CF 相交于一点M ,这一点称为Gergonne 点5、中点三角形：连接三角形各边中点所形成的三角形，与原三角形相似6、九点圆圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点九点共圆，通常称这个圆为九
3、点圆,或欧拉圆,费尔巴哈圆，圆心即为九点圆圆心7、Spieker点：三角形ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，过D，E，F分别作此三角形内切圆切点三角形对应三边的垂线，它们交于一点，称为Spieker点探索一 （图一）任作一圆，记圆心为O，作圆的内接ABC，再作ABC的内切圆，圆心为H，与ABC的切点分别为D、E、F，作DEF，再作其内切圆，圆心为G，用超级画板作图发现这三个圆心O、H、G在一条直线上。探索二两条重要的共点直线（图二）其实熟悉平面几何的读者应该知道，对于一个三角形，有五个“心”是常见的，即重心、外心、垂心、内心、旁心，但除此之外三角形还有很多特殊的点，多达几千个，
4、具体可参看网址：http:/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X3仔细观察图二，发现外心、重心、垂心、九点圆圆心在同一条直线上，由于是欧拉发现的，故该线被称为欧拉线，同时Nagel点、第二界心、重心、内心、四点共线，可以说，这是两条很神奇的直线。查阅资料，整理出如下结论：结论1、三角形的外心、重心、九点圆圆心（垂心与外心的中点）、垂心在一条直线上，称该直线为欧拉线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半结论2、三角形的内心、垂心、第一界心、Bevan点构成一个平行四边形，且外心是内心与Bevan点的中点结论3、三角形的第二界心
5、,是其中点三角形的内心,是其中点三角形的中点三角形的第一界心结论4、Gergonne 点和第一界心为一对等距共轭点结论5、中点三角形的内切圆称为Spieker 圆，第一界心即为Nagel点，第二界心为其Spieker 圆的圆心网上的两个错误结论结论6、三角形的第一界心K、第二界心J、重心G、内心I 四点共线,且J KKGGI = 321,该结论是在http:/ （图四）探索三七心连珠之错误 （图五）参考网址：http:/ 在该网站上，提到在ABC两边上截取BD=CE，则ABC和ADE的外心、内心、重心、垂心、九点圆心、Spieker点、Nagel点的连线均彼此平行！堪谓“七星连珠”。经笔者画图
6、研究，发现这个论述存在一定的问题，只能做到“六线平行”， 任意拖动D、或者变动A、B、C，两个三角形的Nagel点连线可能与其它六线相交,课件见“七心连珠之错误”.附录部分命题的证明：命题1、三角形的重心G，内心I和Nagel点N共线，且NG=2IG. 证明：为证明上述命题，首先给出两个引理。 引理1 在ABC中，D是BC的中点，N是Nagel点，延长AN交BC于E，I是内心，AI延长后交BC于F。求证：IDAE. 证明 令BC=a,CA=b,AB=c，p=(a+b+c)/2，不妨设bc。 则BF=ac/(b+c) ，BE=p-c，CE=p-b。 于是有 DF=BD-BF=a/2-ac/(b+
7、c)=a(b-c)/2(b+c) DE=BE-BD=p-c-a/2=(b-c)/2 所以得:DF/DE=a/(b+c). 又易证 IF/AI=a/(b+c). 因此得出 DF/DE=IF/AI. 故IDAE. 引理1证毕。 引理2 在ABC中，D是BC的中点，K是CA的中点，N是Nagel点，延长AN交BC于E，I是内心，AI延长后交BC于F。求证：AN=2ID. 证明 延长CI至M, 使得CI=IM，走AM，BM. 根据引理1得: IKBN，IDAN; 因为IDBM，2ID=BM，IKAM，2IK=AM; 于是AMBN，BMAM。 故四边形ANBM为平行四边形，即有AN=BM，BN=AM。
8、从而得:2ID=AN，2IK=BN. 引理2证毕。 下面运用上述两个引理来证ABC的重心，内心和Nagel点共线。 证明 连AD，IG，NG，AN，ID。 根据引理1知：IDAN，所以NAG=IDG。 根据引理2知：AN/ID=2, 由重心性质知:AG/GD=2. 所以AGNDGI，故AGN=DGI。 因此 G，I，N三点共线，且NG=2IG。 命题2、欧拉线的证明，有3种证法，具体参见：http:/ 2http:/ 3http:/ 4http:/ 5http:/ 6http:/faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X3 7http:/
