小波信号坚持奇异点.doc

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1、德州学院 物理系 2012届 电子信息工程专业 毕业论文小波分析在一维奇异信号检测应用中的应用研究权爱娟(德州学院物理系，山东德州253023)摘 要 小波分析被誉为分析信号的显微镜，能精确刻画信号在小波变换下的局部奇异性。小波分析突破了传统傅里叶变换(Fourier Transform)等信号处理方法的限制，在时域和频域上可同时对信号实现局部化处理，同时，各奇异点的位置，也可以由小波分析的局部模极大值性质检测出来，因而在检测信号性等方面具有广泛的应用价值。突变信号又称奇异信号，突变信号的突和应用变点经常携带比较重要的信息,是信号的重要特征之一。在数字信号处理和数字图像处理中具有非常重要的作用

2、和地位，信号的突变性检测是先对原信号在不同尺度上进行“磨光”，再对磨光后信号的一阶或二阶倒数检测其极值点或过零点。对信号进行磨光处理，主要是为了消除噪声而不是边缘。传统的信号突变检测方法是基于傅立叶变换的，由某一函数的傅立叶变换趋近于零的快慢来推断该函数是否具有突变性，但它只能反映信号的整体突变性，而对信号的局部突变则无法描述。基于小波变换的信号奇异性检测可以应用于故障诊断、图像的多尺度边缘提取、信号恢复和去噪、语音基因周期检测等领域。关键词 小波分析； 模极大值； 奇异信号； 傅里叶变换； 1 绪论 小波分析是傅里叶分析思想的发展与延续，它自产生以来，就一直和傅里叶分析密切相关。信号的奇异性

3、分析是提取信号特征的重要手段，傅里叶变换(Fourier Transform)一直是研究信号奇异性的经典工具，但是由于傅里叶变换对信号的表示要么在时域，要么在频域，缺乏空间局部特性，因而只能确定信号奇异性的整体信息，无法确定奇异点的空间分布。小波变换具有时频局部化特性，能够有效地分析信号的奇异性，确定奇异点的位置与奇异度的大小，为信号奇异性分析提供了有力的工具。在处理信号的领域，对原始信号进行一系列的变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，以获得更多的信息。根据傅立叶变换的理论，在一定的条件下，一个周期函数可以表示为傅立叶级数。傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息在许多情况下，具有实际的物理

4、意义，所以傅立叶变换得到了广泛的应用。但是，这种理论具有一定的局限性，那就是不能表达信号的时域信息，所以应用十分受限。后来提出的短时傅里叶变换虽然可以表达信号的时域信息，但是在空间中的分辨率是固定不变的，应用起来不够灵活，信号的瞬态的特点不能被很好的表达出来。数学上称无限次可导函数是光滑的或没有奇异性，若函数在某处有间断或某阶导数不连续，则称函数在此处有奇异性,该点就是奇异点。信号的突变点往往包含重要的信息。如果一信号在某个时刻的一个小邻域内发生了突变，那么信号的整个频谱都将会受其影响。突变信号的突和应用变点经常携带比较重要的信息，因此，在非平稳信号分析和实时信号处理的许多应用中，只有傅里叶变

5、换是不够的。小波分析突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制，在时域和频域上同时对信号实现局部化处理，这更符合信号非平稳的变频带结构特征。2 小波分析的理论基础在信号处理的领域中，存在众多的频域分析方法，其基本思想都是通过研究信号的频谱特征来得到进行信号处理的基本信息，傅里叶分析方法是一种最古老也是发展最充分的方法，但是傅里叶分析方法严重的不足在于不能表达时域信息，应用很受局限，小波变换突破了传统傅里叶变换等信号处理方法的限制，在时域和频域上同时对信号实现局部化处理，这更符合信号非平稳的变频带结构特征，在信号检测奇异性等方面具有广泛的应用价值。2.1 小波分析简介 在信号处理领域，对原始信号进

6、行变换，从变换的结果和过程中提取信号的特征，获得更多的信息，而这些信息是原来信号没有直接提供的(隐含的)，小波分析是自1986年以来由Y1Meyer，S1Mallat及I1Daubechies等的研究工作为基础而迅速发展起来的一门新兴学科，他是傅里叶分析(Fourier Analy2sis) 划时代的发展结果。小波分析方法是一种窗口大小（既窗口面积）固定但其形状可以改变，时间窗和频率窗都可改变的时域局部化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。在大尺度下，可以将信号的低频信息(全局)表现出来，在小尺度下，可以将信号的高频(

7、局部)特征反映出来。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。 小波分析属于时域分析的一种，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质，是一种信号的时间尺度（时间频域）分析方法，具有多分辨率分许的特点，而且在时域和频域两域都具有表征信号局部特征的能力，被誉为分析信号的显微镜。小波分析已经广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障与监控、分析以及数字电视等科技领域。原则上讲，传统上使用傅里叶分析的地方都可以用小波分析来代替。小波分析优于傅里叶变换的地方就是，它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。小波

8、变换具有空间局部化性质，小波变换系数由该点附近的局部信息所确定，因此小波变换能够很好的分析信号的奇异点的位置和奇异点的强弱。 奇异点的位置可以通过跟踪小波变换在细尺度下的模极大曲线来检测；而信号点的奇异性强弱（在数学上，通常用Lipshitz指数来刻画信号奇异性的大小）可以由小波变换模极大值随尺度参数的衰减性来刻画。2.2 小波分析的理论基础设(表示平方可积的实数空间，既能量有限的信号空间），其傅里叶变换为。当满足允许条件（Adimissible Condition）： （2.1）时，我们称为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet）。讲母函数经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。

9、对于连续的情况，小波序列为 (2.2)其中，伸缩因子，为平移因子。对于离散的情况，小波序列为 (2.3)对于任意的函数的连续小波变换为 （2.4）其逆变换为 （2.5） 小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形 ，窗口中心为 ，时窗宽和频窗宽分别为和。其中仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而不仅影响窗口在频率轴上的位置的，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时小波变换的时间分配率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这边是它优于经典

10、的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。 观测信号含有噪声。应用观测数据代替进行分析处理，要进行平滑和滤波处理。设是一个适当的光滑函数，满足和。一般情况下选为高斯函数，即 （2.6）若令 （2.7）则有 ， （2.8）显然和均为子波函数，现在对函数引入尺度因子，并采用如下表示： （2.9）然后将信号s(t)关于和的小波变换定义为 （2.10）这里用卷积运算来定义小波变换，与标准的小波变换定义不同，不过没有本质区别。将上式代入可得 （2.11）这里用到了卷积和微分可以交换的性质。类似地可得 （2.12）从以上分析，用观测信号的平滑版本取代

11、原信号、和取代的一阶和二阶导数进行分析。表 2.1 噪声的干扰 信号模型预处理突变点拐点 一阶导数模极大值点二阶导数过零点，在该点处为0，且左右频域值必须正负特性相反观察数据含噪声高斯函数做平滑的模极大值点在该点处为0，且左右频域符号相反表2.1比较了含有噪声的信号和不含噪声突变点和拐点的区别。为了使结果更准确，综合考虑和多尺度计算的结果，来判断信号的突变点。2.3常用的小波函数分类标准与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，既小波函数具有多样性。但小波分析在工程应用中一个十分重要的问题是最有小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果，目前主要

12、是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判断小波的好坏，并由此选定小波基。根据不同的标准，小波函数具有不同的类型，这些标准通常有：（1）、和的支撑长度。既当时间或频率趋于无穷大时，、和从一个有限值收敛到0的速度。（2）对称性。在图像处理中对于避免移相是非常有用的。（3）和（如果存在的情况下）的消失矩阵数。它对于压缩是非常有用的。（4）正则性。它对信号或图像的重构以获得较好的平滑效果是非常有用的。小波空间的性质强烈依赖于小波函数的类型,所以选择合适的小波是测量准确、可靠的重要保证。如小波能够保证正交性,可在一定程度上避免了因小波变换之间的关联而造成分析变换结果困难的问题;所选小波应是

13、尽量满足对称的,可以保证小波的滤波特性具有线性相位等等。为了检测信号中的奇异点,所选择的小波必须很正则(有规则)的,这时的小波可以实现一个更长的冲击响应滤波器。信号的性质可以用它的小波系数来刻画,小波系数较大者,携载的信号能量较多,小波系数较小者携载的信号能量较少,因此可用携载能量的多少作为衡量小波系数在信号中的权重大小。常用的小波函数有：Haar小波、Daubechies(dbN) 小波系、Biorthogonal(biorNd)小波系、Coiflet(coifN) 小波系 、Symlets(symN)小波系、Morlet(morI)小波系、Mexican Hat(mexh)小波、Meyer

14、函数、Battle-Lemarie小波。Daubechies小波是最常用的小波基,它有很多很好的性质。Daub4小波和Daub6小波最适合短时、快速的高频暂态信号的检测,而Daub8和Daub10小波更适合于缓慢变化的暂态过程。2.4 Haar小波Haar函数是在小波分析中应用最早的一个具有紧支撑的正交小波函数，同时也是最简单的一个函数，它是非连续的，类似一个阶梯函数如下图2.2所示。Haar函数的定义为： （2.13）尺度函数为 （2.14） 图2.2 Haar小波函数图2.5 Daubechies(dbN)小波系Daubechies 函数是由世界著名的小波分析学者Inrid Daubechies 构造的小波函数，除了db1(既Haar小波)外，其他的小波没有明